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| Aufgabe | Zum 01.01.2002 werden in allen EU-Ländern Euro-Münzen in Umlauf gebracht. In jedem Land wurden ausschließlich Münzen eigener Prägung eingesetzt. Für die dann einsetzende "Münzwanderung pro Jahr" zwischen den Gebieten Deutschland (D), Frankreich (F) und sonstige Länder (S) verhalten sich die jährlichen Wanderungsanteile gemäß dem Diagramm (vgl. Abb.).
[Dateianhang nicht öffentlich]
b) Berechne unter der Annahme, das sich zum 01.01.2002 100% der deutschen Münzen in Deutschland befinden, die prozentuale Verteilung der deutschen Münzen auf die drei Gebiete (D, F, S) zum 01.01.2003.
c) Ermittele die Übergangsmatrix für die ersten zwei Jahre und berechne damit die Verteilung der deutschen Münzen zum 01.01.2004 und zum 01.01.2006.
d) Zum 01.01.2002 wurden in Deutschland 800 Millionen, in Frankreich 600 Millionen und in den sonstigen Ländern 150 Millionen Münzen ausgegeben. - Ermittele die Gesamtanzahl aller Münzen jeweils in den drei Gebieten zum 01.01.2003. |
Hallo zusammen,
Unsere Lehrerin hat noch kurz vor den Ferien den Matrizenkram angefangen und uns einen Zettel mit aufgaben überreicht.
Die Matrix hab' ich aufgestellt, das war ja trivial. Die stationäre Verteilung ist auch kein Problem, aber das weiterreichende Verständnis, das zum Lösen von b), c) und d) benötigt wird, hat sie nicht mehr sonderlich vertieft. Deshalb fände ich's toll, wenn mir jemand ein paar Lösungsansätze erklären könnte!
[mm] A=\pmat{ 0{,}88 & 0{,}15 & 0{,}06 \\ 0{,}06 & 0{,}8& 0{,}04\\0{,}06&0{,}05&0{,}9 }
[/mm]
1. Spalte: D, 2. Spalte: S 3. Spalte: F
1. Zeile: D, 2. Zeile: S 3. Spalte: F
Wir haben abgemacht, die Wanderung der Münzen "von oben nach links" zu lesen.
Wie stelle ich die Annahme, dass 100% aller deutschen Münzen sich in Deutschland befinden, dar? Mit was für einem Spaltenvektor muss ich die Matrix multiplizieren, um die Verteilung beispielsweise nach einem Jahr zu erhalten?
Vielen Dank schon mal,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Do 09.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Stefan!
Sowas macht Ihr in der Schule? Lob an die Lehrerin!
@a) Deine Übergangsmatrix sieht jedenfalls schon einmal gut aus! Ich kopiere:
$ [mm] A=\pmat{ 0{,}88 & 0{,}15 & 0{,}06 \\ 0{,}06 & 0{,}8& 0{,}04\\0{,}06&0{,}05&0{,}9 } [/mm] $
@b)
Dem Aufgabentext kannst Du entnehmen, dass bis zum 1.1.2003 ein Übergang stattfindet,
sowie, dass zu Beginn des Spiels alle drei Länder "münzrein" waren. Für die deutschen
Münzen bedeutet das: 100% in Deutschland und jeweils 0% in Frankreich und Sonstien.
Damit hast Du den anfänglichen Verteilungsvektor deutscher Münzen
[mm] $v_0 [/mm] = [mm] \vektor{d \\ f \\ s} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Den multiplizierst Du mit Deiner Matrix und Du hast die Antwort auf b):
[mm] $v_1 [/mm] := [mm] Av_0$
[/mm]
@c) Hier musst Du den Verteilungsvektor deutscher Münzen nach einem Jahr, [mm] $v_1$,
[/mm]
auf die Matrix anwenden und erhältst den Vektor Deutscher Münzen nach 2 Jahren:
[mm] $v_2:= Av_1 [/mm] = [mm] A(Av_0) [/mm] = [mm] A^2 v_0$
[/mm]
Die gesuchte Übergangsmatrix vom 1.1.2002 direkt auf den 1.1.2004 ist also die Matrix [mm] $A^2$.
[/mm]
@d) Das ist eine Prozentrechenaufgabe
Mal nur für die deutschen Münzen:
* Du weisst, nachdem Du [mm] v_1 [/mm] berechnet hast, wie sich die 800Mio Münzen über D,F und S
prozentual verteilt haben: [mm] $v_1=(p_d,p_f,p_s)$
[/mm]
* In Deutschland befinden sich also nach einem Jahr noch 800Mio * [mm] $p_d$ [/mm] deutsche Münzen.
* So berechnest Du auch die deutschen Münzen in F und S.
* Nun brauchst Du noch die Information, was aus den 650Mio zunächst (0,1,0)-verteilten
französischen und aus den 150Mio zunächst (0,0,1)-verteilten sonstigen Münzen
geworden ist.
* Der Rest ist Addition.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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Besten Dank für deine Mühe!
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