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| Aufgabe | a) Geben Sie die Grundmenge so an, dass folgende Aussageform wahr ist:
[mm] (\exists [/mm] x [mm] \in G_{1})(\forall [/mm] y [mm] \in G_{1}) [/mm] : x - 1 [mm] \leq [/mm] y [mm] \leq [/mm] x + 1
b) Die Grundmenge sei G = [mm] \IN. [/mm] Ersetzen Sie die Unterstriche so, dass die Aussage wahr ist.
[mm] (\exists [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] _____) [mm] \Rightarrow (\forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] n < 0) |
Hallo,
ich habe mich bisher kaum mit solchen Aufgaben befasst und wüsste gerne, ob ich die mathematischen Formulierungen richtig verstanden habe.
Die Aussageform unter a) verstehe ich so: In der Grundmenge [mm] G_{1} [/mm] findet man für jedes Element y mindestens ein Element x, sodass gilt: x - 1 [mm] \leq [/mm] y [mm] \leq [/mm] x + 1
Da nun [mm] \leq [/mm] eine transitive Relation ist, gilt auch: x - 1 [mm] \leq [/mm] x + 1. Diese Bedingung sollte ja für alle x [mm] \in [/mm] G bei allen Zahlenbereichen innerhalb der reellen Zahlen gelten. Nun muss man also für alle y, die in der Grundmenge enthalten sind, ein x finden, für das die Aussageform stimmt. Bei einer unendlichen Menge könnte man immer x = y wählen, damit wäre die Aussageform war. Bei einer endlichen Menge könnte man, wenn y das kleinste Element ist, für x = y + 1 wählen, wenn y das größte Element ist, nimmt man x = y -1. Also ist die Aussageform bei allen Zahlenbereichen, die innerhalb der reellen Zahlen liegen, gültig.
Bei der Aufgabe b) fehlt mir bisher ein Lösungsansatz. Ich würde das so ausformulieren: Es existiert eine natürliche Zahl n, für die gilt: _____ . Daraus folgt, dass alle natürlichen Zahlen kleiner null (also negativ) sind. Der zweite Teil sollte doch eigentlich eine falsche Aussage sein, da es keine negativen natürliche Zahlen gibt. Sehe ich das falsch? Soll ich etwa die Unterstriche durch etwas ebenfalls falsches ersetzen und dann nach "Ex falso quodlibet" daraus was falsches folgern?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) Geben Sie die Grundmenge so an, dass folgende
> Aussageform wahr ist:
> [mm](\exists[/mm] x [mm]\in G_{1})(\forall[/mm] y [mm]\in G_{1})[/mm] : x - 1 [mm]\leq[/mm] y
> [mm]\leq[/mm] x + 1
>
> b) Die Grundmenge sei G = [mm]\IN.[/mm] Ersetzen Sie die
> Unterstriche so, dass die Aussage wahr ist.
> [mm](\exists[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm] _____) [mm]\Rightarrow (\forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
> n < 0)
> Hallo,
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> ich habe mich bisher kaum mit solchen Aufgaben befasst und
> wüsste gerne, ob ich die mathematischen Formulierungen
> richtig verstanden habe.
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> Die Aussageform unter a) verstehe ich so: In der Grundmenge
> [mm]G_{1}[/mm] findet man für jedes Element y mindestens ein
> Element x, sodass gilt: x - 1 [mm]\leq[/mm] y [mm]\leq[/mm] x + 1
> Da nun [mm]\leq[/mm] eine transitive Relation ist, gilt auch: x - 1
> [mm]\leq[/mm] x + 1. Diese Bedingung sollte ja für alle x [mm]\in[/mm] G bei
> allen Zahlenbereichen innerhalb der reellen Zahlen gelten.
> Nun muss man also für alle y, die in der Grundmenge
> enthalten sind, ein x finden, für das die Aussageform
> stimmt. Bei einer unendlichen Menge könnte man immer x = y
> wählen, damit wäre die Aussageform war. Bei einer
> endlichen Menge könnte man, wenn y das kleinste Element
> ist, für x = y + 1 wählen, wenn y das größte Element
> ist, nimmt man x = y -1. Also ist die Aussageform bei allen
> Zahlenbereichen, die innerhalb der reellen Zahlen liegen,
> gültig.
Nö.^^
Du musst darauf achten, dass Quantoren von links nach rechts ausgewertet werden.
Das heißt es gibt ein x, sodass alle y zwischen x-1 und x+1 liegen.
Zum Beispiel [mm] $\{ 1,2,3,4 \}$ [/mm] wäre keine gültige Menge.
Es stellt sich hier dann auch noch die Frage, ob du nur irgend eine Menge angeben sollst oder die größte Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] für die dies gilt?
> Bei der Aufgabe b) fehlt mir bisher ein Lösungsansatz. Ich
> würde das so ausformulieren: Es existiert eine natürliche
> Zahl n, für die gilt: _____ . Daraus folgt, dass alle
> natürlichen Zahlen kleiner null (also negativ) sind. Der
> zweite Teil sollte doch eigentlich eine falsche Aussage
> sein, da es keine negativen natürliche Zahlen gibt. Sehe
> ich das falsch? Soll ich etwa die Unterstriche durch etwas
> ebenfalls falsches ersetzen und dann nach "Ex falso
> quodlibet" daraus was falsches folgern?
Die Gesamtaussage soll wahr sein.
Wie du richtig festgestellt hast ist der hintere Teil falsch.
Also musst du es so basteln, dass die Folgerung insgesamt wahr ist, ja.
Was genau du da für den Strich nimmst, da fällt dir sicher was ein. ;)
lg
Schadow
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> Du musst darauf achten, dass Quantoren von links nach
> rechts ausgewertet werden.
> Das heißt es gibt ein x, sodass alle y zwischen x-1 und
> x+1 liegen.
Das würde dann allen geordneten Mengen, die 3 Elemente enthalten, entsprechen, oder nicht?
Beispielsweise G = {1, 2, 3}. Für x = 2 gilt:
x-1 = 1
x+1 = 3
1 [mm] \leq [/mm] y [mm] \leq [/mm] 3 ist für alle y [mm] \in [/mm] G erfüllt.
> Es stellt sich hier dann auch noch die Frage, ob du nur
> irgend eine Menge angeben sollst oder die größte
> Teilmenge von [mm]\IR[/mm] für die dies gilt?
Es wurde ja laut Aufgabenstellung nicht weiter eingeschränkt, daher sollte es eine beliebige Menge sein.
> Wie du richtig festgestellt hast ist der hintere Teil
> falsch.
> Also musst du es so basteln, dass die Folgerung insgesamt
> wahr ist, ja.
> Was genau du da für den Strich nimmst, da fällt dir
> sicher was ein. ;)
Naja, es wäre evtl. sinnvoll, den Strich durch n < 0 oder n = -1 zu ersetzen. Aber könnte man nicht eine beliebige falsche Aussage formen, um dann aus falschem falsches zu folgern, sodass die Aussage insgesamt wahr ist?
Die Aussage
[mm] (\exists [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] n = [mm] \wurzel{2}) \Rightarrow (\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : n < 0)
müsste dann ebenfalls gültig sein.
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> > Du musst darauf achten, dass Quantoren von links nach
> > rechts ausgewertet werden.
> > Das heißt es gibt ein x, sodass alle y zwischen x-1
> und
> > x+1 liegen.
>
> Das würde dann allen geordneten Mengen, die 3 Elemente
> enthalten, entsprechen, oder nicht?
> Beispielsweise G = {1, 2, 3}. Für x = 2 gilt:
> x-1 = 1
> x+1 = 3
> 1 [mm]\leq[/mm] y [mm]\leq[/mm] 3 ist für alle y [mm]\in[/mm] G erfüllt.
jo, das ist eine Art von zulässigen Mengen.
Es gibt noch einige andere, aber wenn du nur eine angeben sollst passt das so.
> > Es stellt sich hier dann auch noch die Frage, ob du nur
> > irgend eine Menge angeben sollst oder die größte
> > Teilmenge von [mm]\IR[/mm] für die dies gilt?
>
> Es wurde ja laut Aufgabenstellung nicht weiter
> eingeschränkt, daher sollte es eine beliebige Menge sein.
>
> > Wie du richtig festgestellt hast ist der hintere Teil
> > falsch.
> > Also musst du es so basteln, dass die Folgerung
> insgesamt
> > wahr ist, ja.
> > Was genau du da für den Strich nimmst, da fällt dir
> > sicher was ein. ;)
>
> Naja, es wäre evtl. sinnvoll, den Strich durch n < 0 oder
> n = -1 zu ersetzen. Aber könnte man nicht eine beliebige
> falsche Aussage formen, um dann aus falschem falsches zu
> folgern, sodass die Aussage insgesamt wahr ist?
> Die Aussage
> [mm](\exists[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm] n = [mm]\wurzel{2}) \Rightarrow (\forall[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm] : n < 0)
> müsste dann ebenfalls gültig sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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