Aussagen zu Mengen prüfen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 So 02.11.2008 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Gegeben ist eine zweielementige Menge M = {a,b}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Notation: für jede Menge X bezeichnet Pot(X) die Potenzmenge von X.
(i) {a} [mm] \in [/mm] M
(ii) {b} [mm] \subseteq [/mm] Pot(M)
(iii) [mm] \emptyset \in [/mm] M
(iv) {b} [mm] \in [/mm] Pot(M)
(v) {{b}} [mm] \in [/mm] Pot(Pot(M))
(vi) [mm] {\emptyset} \in [/mm] Pot(M)
(vii) {a} [mm] \subseteq [/mm] M
(viii){a} [mm] \subseteq [/mm] Pot(M)
(ix) [mm] {\emptyset} \subseteq [/mm] Pot(M) |
Ich habe schon alle Aussagen auf Wahrheitsgehlt geprüft. Es wäre nett, wenn noch mal jemand drüber schauen könnte. Wo ich mir nicht sicher bin, habe ich noch eine Begründung hinzugefügt.
zu i) wahr
zu ii) wahr
zu iii) falsch, weil die leere Menge keine Elemente hat
zu iv) wahr
zu v) wahr
(Bedeuten die doppelten geschweiften Klammern, dass es eine Menge ist, die aus einer anderen Menge besteht?)
zu vi) falsch, weil die leere Menge keine Elemente hat
zu vii) wahr
zu viii) falsch, da die Menge der Menge a erst in Pot(Pot(M)) enthalten ist
ix) wahr, weil die leere Menge immer eine Teilmenge einer anderen Menge ist
Danke für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 So 02.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Gegeben ist eine zweielementige Menge M = {a,b}. Welche der
> folgenden Aussagen sind wahr?
> Notation: für jede Menge X bezeichnet Pot(X) die
> Potenzmenge von X.
>
> (i) {a} [mm]\in[/mm] M
> (ii) {b} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
> (iii) [mm]\emptyset \in[/mm] M
> (iv) {b} [mm]\in[/mm] Pot(M)
> (v) {{b}} [mm]\in[/mm] Pot(Pot(M))
> (vi) [mm]{\emptyset} \in[/mm] Pot(M)
> (vii) {a} [mm]\subseteq[/mm] M
> (viii){a} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
> (ix) [mm]{\emptyset} \subseteq[/mm] Pot(M)
> Ich habe schon alle Aussagen auf Wahrheitsgehlt geprüft.
> Es wäre nett, wenn noch mal jemand drüber schauen könnte.
> Wo ich mir nicht sicher bin, habe ich noch eine Begründung
> hinzugefügt.
>
> zu i) wahr
es ist $a [mm] \in [/mm] M$ aber nicht [mm] $\{a\} \in [/mm] M$. Dafür ist aber [mm] $\{a\} \subset [/mm] M$.
> zu ii) wahr
auch nicht. Überlege, wie die Elemente der Potenzmenge aussehen. Hier liegt es genau umgekehrt wie unter a.)
Es wäre {{a}} eine Teilmenge der Potenzmenge, aber nicht {a}. Das wäre ein Element.
> zu iii) falsch, weil die leere Menge keine Elemente hat
die Begründung überzeugt mich nicht. M enthält keine Mengen sondern einzelne Elemente.
> zu iv) wahr
> zu v) wahr
> (Bedeuten die doppelten geschweiften Klammern, dass es
> eine Menge ist, die aus einer anderen Menge besteht?)
JA.
> zu vi) falsch, weil die leere Menge keine Elemente hat
nein. Die leere Menge ist ein Element jeder Potenzmenge, weil sie Teilmenge jeder Menge ist.
> zu vii) wahr
> zu viii) falsch, da die Menge der Menge a erst in
> Pot(Pot(M)) enthalten ist
?? Die Menge der Menge a??
> ix) wahr, weil die leere Menge immer eine Teilmenge einer
> anderen Menge ist
sonst OK
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 So 02.11.2008 | | Autor: | Klemme |
> Hallo,
>
> > Gegeben ist eine zweielementige Menge M = {a,b}. Welche der
> > folgenden Aussagen sind wahr?
> > Notation: für jede Menge X bezeichnet Pot(X) die
> > Potenzmenge von X.
> >
> > (i) {a} [mm]\in[/mm] M
> > (ii) {b} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
> > (iii) [mm]\emptyset \in[/mm] M
> > (iv) {b} [mm]\in[/mm] Pot(M)
> > (v) {{b}} [mm]\in[/mm] Pot(Pot(M))
> > (vi) [mm]{\emptyset} \in[/mm] Pot(M)
> > (vii) {a} [mm]\subseteq[/mm] M
> > (viii){a} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
> > (ix) [mm]{\emptyset} \subseteq[/mm] Pot(M)
> > zu viii) falsch, da die Menge der Menge a erst in
> > Pot(Pot(M)) enthalten ist
> ?? Die Menge der Menge a??
Sorry. Ich habe die Aufgabe nicht richtig aufgeschrieben. Richtig heißt die Aufgabe:
(viii){{a}} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
Die Aussage wäre dann falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 So 02.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Gegeben ist eine zweielementige Menge M = {a,b}. Welche der
> > > folgenden Aussagen sind wahr?
> > > Notation: für jede Menge X bezeichnet Pot(X) die
> > > Potenzmenge von X.
> > >
> > > (i) {a} [mm]\in[/mm] M
> > > (ii) {b} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
> > > (iii) [mm]\emptyset \in[/mm] M
> > > (iv) {b} [mm]\in[/mm] Pot(M)
> > > (v) {{b}} [mm]\in[/mm] Pot(Pot(M))
> > > (vi) [mm]{\emptyset} \in[/mm] Pot(M)
> > > (vii) {a} [mm]\subseteq[/mm] M
> > > (viii){a} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
> > > (ix) [mm]{\emptyset} \subseteq[/mm] Pot(M)
>
> > > zu viii) falsch, da die Menge der Menge a erst in
> > > Pot(Pot(M)) enthalten ist
> > ?? Die Menge der Menge a??
>
> Sorry. Ich habe die Aufgabe nicht richtig aufgeschrieben.
> Richtig heißt die Aufgabe:
> (viii){{a}} [mm]\subseteq[/mm] Pot(M)
> Die Aussage wäre dann falsch.
nein, die Aussage ist dann wahr:
Denn:
Sei [mm] $X:=\{\{a\}\}$. [/mm] Die Frage ist nun, ob $$X [mm] \subseteq \text{Pot}(M)$$ [/mm] ist.
Nun ist also die Frage: Gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ auch $x [mm] \in \text{Pot}(M)$? [/mm]
[mm] $\black{X}$ [/mm] besteht aber einzig aus einem Element [mm] $\black{x}$, [/mm] also [mm] $X=\{x\}$ [/mm] mit [mm] $x=\{a\}.$ [/mm] Nun prüfst Du, ob auch $x [mm] \in \text{Pot}(M)=\text{Pot}(\{a,b\})$ [/mm] gilt. Das ist gleichbedeutend mit der Frage, ob $x [mm] \subseteq [/mm] M$ ist, bzw. ausgeschrieben:
Gilt [mm] $\{a\} \subseteq \{a,b\}$?
[/mm]
Und die letzte Frage ist zu bejahen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 So 02.11.2008 | | Autor: | Klemme |
Jetzt hab ichs. Hab [mm] \in [/mm] mit [mm] \subseteq [/mm] verwechselt. Danke nochmal für die schnelle Hilfe.
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