Aussagen über Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im folgenden sei stets K ein Körper, V [mm] \not= [/mm] 0 ein endlichdimensionaler Vektorraum über K und [mm] \alpha, \beta \in [/mm] End(V).
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Man beweise die einen und wiederlege die anderen.
(a) Ist v ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] so ist -v ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] -\lambda.
[/mm]
(b) Ist [mm] v_i [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda_i [/mm] für i = 1,2 und ist [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \alpha, [/mm] so ist [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2.
[/mm]
(c) Ist v ein Eigenvekotr von [mm] \alpha [/mm] und von von [mm] \beta, [/mm] so auch von [mm] \alpha\beta. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
(a) Diese Aussagen ist falsch. Sei [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit x [mm] \mapsto [/mm] x - 1, Dann ist [mm] \lambda [/mm] = 1 ein Eigenwert von [mm] \alpha, [/mm] aber [mm] -\lambda [/mm] ist kein Eigenwert. Somit gilt die Aussagen nicht
(b) hier habe ich leider keine Idee
(c) hier leider auch nicht
Ich hoffe, dass mir hier eine helfen kann...
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a) klingt gut
Zu c): Wenn v ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] ist, dann gilt doch
[mm]\alpha v = \lambda_{\alpha} v[/mm]
Analog für [mm]\beta[/mm]. Die Hintereinanderausführung ergibt dann was?
Zu b):Auch hier würde ich wieder die Grundgleichung für beide Eigenvektoren hinschreiben und es mal mit Addieren versuchen...
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> Im folgenden sei stets K ein Körper, V [mm]\not=[/mm] 0 ein
> endlichdimensionaler Vektorraum über K und [mm]\alpha, \beta \in[/mm]
> End(V).
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> Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
> Man beweise die einen und wiederlege die anderen.
>
> (a) Ist v ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda,[/mm]
> so ist -v ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert
> [mm]-\lambda.[/mm]
>
> (b) Ist [mm]v_i[/mm] ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert
> [mm]\lambda_i[/mm] für i = 1,2 und ist [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm] ein Eigenvektor von
> [mm]\alpha,[/mm] so ist [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2.[/mm]
>
> (c) Ist v ein Eigenvekotr von [mm]\alpha[/mm] und von von [mm]\beta,[/mm] so
> auch von [mm]\alpha\beta.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> (a) Diese Aussagen ist falsch. Sei [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
> x [mm]\mapsto[/mm] x - 1, Dann ist [mm]\lambda[/mm] = 1 ein Eigenwert von
> [mm]\alpha,[/mm] aber [mm]-\lambda[/mm] ist kein Eigenwert. Somit gilt die
> Aussagen nicht
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast zwar recht, daß die Aussage nicht gilt.
Mit der Begründung allerdings liegst Du ziemlich daneben, u.a. deshalb, weil die von Dir ins Feld geführte Abbildung kein Endomorphismus ist.
Tip: Sei [mm] \alpha \in [/mm] End(V), sei v EV von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Berechne [mm] \alpha(-v).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo.
Danke für die Antworten. Warum handelt es sich denn bei meiner angegebenen um keinen Endomorphismus?
Ich weiß leider nicht, worauf du hinaus möchtest...
(b) Ist [mm] v_1 [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda_1, [/mm] dann gilt [mm] \alpha v_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] und ist [mm] v_2 [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda_2, [/mm] dann gilt [mm] \alpha v_2 [/mm] = [mm] \lambda_2 v_2. [/mm] Nun soll [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] sein. Also gilt [mm] \alpha(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \lambda (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \lambda (v_1 [/mm] + [mm] v_2). [/mm] Nun gilt aber auch [mm] \alpha (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \alpha v_1 [/mm] + [mm] \alpha v_2 [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2. [/mm] Somit gilt nun bereits [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2.
[/mm]
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> Warum handelt es sich denn bei
> meiner angegebenen um keinen Endomorphismus?
Ein Endomorphismus ist eine lineare Abbildung, und die Abbildung
$ [mm] \alpha [/mm] $ : $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ mit x $ [mm] \mapsto [/mm] $ x - 1
ist nicht linear, was Du leicht nachrechnen kannst.
(Man sieht es u.a. auch schnell daran, daß [mm] \alpha(0)\not=0.)
[/mm]
> (b) Ist [mm]v_1[/mm] ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert
> [mm]\lambda_1,[/mm] dann gilt [mm]\alpha v_1[/mm] = [mm]\lambda_1 v_1[/mm] und ist [mm]v_2[/mm]
> ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda_2,[/mm] dann
> gilt [mm]\alpha v_2[/mm] = [mm]\lambda_2 v_2.[/mm] Nun soll [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm] ein
> Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] sein. Also gilt [mm]\alpha(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] =
> [mm]\lambda (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\lambda (v_1[/mm] + [mm]v_2).[/mm] Nun gilt aber
> auch [mm]\alpha (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\alpha v_1[/mm] + [mm]\alpha v_2[/mm] =
> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2.[/mm]
Bis hierher folge ich gut.
> Somit gilt nun bereits
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2.[/mm]
Diesem letzten Schritt kann ich ohne weitere Erklärungen nicht folgen.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Also ich habe mir das so gedacht.
Zunächst gilt: [mm] \alpha(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \alpha v_1 [/mm] + [mm] \alpha v_2 [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2.
[/mm]
Ebenso gilt: [mm] \alpha(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \lambda(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \lambda v_1 [/mm] + [mm] \lambda v_2.
[/mm]
Also gilt nun [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] = [mm] \lambda v_1 [/mm] + [mm] \lambda v_2.
[/mm]
Also muss insgesamgt gelten [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] = [mm] \lambda_2.
[/mm]
Kannst du mir dann die vorgehensweise von Teil (a) nochmal aufschreiben? Irgendwie komme ich damit dann noch nicht klar... Wie gebe ich denn dort nun ein Beispiel an?
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> Zunächst gilt: [mm]\alpha(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\alpha v_1[/mm] + [mm]\alpha v_2[/mm]
> = [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2.[/mm]
> Ebenso gilt: [mm]\alpha(v_1[/mm] +
> [mm]v_2)[/mm] = [mm]\lambda(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\lambda v_1[/mm] + [mm]\lambda v_2.[/mm]
>
> Also gilt nun [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2[/mm] = [mm]\lambda v_1[/mm] +
> [mm]\lambda v_2.[/mm]
Wie im vorhergehenden Post bereits erwähnt, kann ich bis hierher sehr gut folgen.
> Also muss insgesamgt gelten [mm]\lambda_1[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\lambda_2.[/mm]
Dies ist der Punkt, an dem ich nicht folgen kann. Wie begründest Du die Gleichheit der lambdas?
Was sagst Du, wenn ich hiermit komme:
"Es könnte ja für irgendeine Abbildung [mm] \beta \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=4 [/mm] sein mit zugehörigen Eigenvektoren [mm] v_1=\vektor{1 \\ 2} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{2 \\ 4}.
[/mm]
Nun ist [mm] \beta(\vektor{1 \\ 2}+\vektor{2 \\ 4})=\vektor{1 \\ 2}+4*\vektor{2 \\ 4}=\vektor{9 \\ 18}=3(\vektor{1 \\ 2}+\vektor{2 \\ 4}).
[/mm]
Aber 1,4,3 sind ja mit Sicherheit verschieden."
Da mußt Du Dir etwas einfallen lassen. An welcher Stelle hinkt mein Beispiel?
>
> Kannst du mir dann die vorgehensweise von Teil (a) nochmal
> aufschreiben? Irgendwie komme ich damit dann noch nicht
> klar... Wie gebe ich denn dort nun ein Beispiel an?
Ich hatte Dir in meinem ersten Post zum Thema einen Hinweis hierzu gegeben.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Ich finde meinen Beweis durchaus schlüssig und verstehe nicht deinen Einwand. wenn [mm] \lamda v_1 [/mm] + [mm] \lamda v_2 [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] gelten muss. dann folgt doch direkt daraus die Behauptung.
Mit deinem Tipp aus deinem ersten Post kann ich leider nichts mit anfangen, da ich nicht weiß, wie ich das umsetzen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 04.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Hallo.
>
> Ich finde meinen Beweis durchaus schlüssig und verstehe
> nicht deinen Einwand. wenn [mm]\lamda v_1[/mm] + [mm]\lamda v_2[/mm] =
> [mm]\lambda_1 v_1[/mm] + [mm]\lambda_2 v_2[/mm] gelten muss. dann folgt doch
> direkt daraus die Behauptung.
Nein, wie angela ja bereits eindrucksvoll demonstriert hat. Ich schreibe das ganze nochmal anders auf, dann siehst Du es vielleicht besser:
[mm]1*\vektor{1\\2}+4*\vektor{2\\4}=3*(\vektor{1\\2}+\vektor{2\\4})[/mm]
Das ist ja genau Deine Gleichung und nach Deiner Aussage folgt damit dirket, dass 1=4.
>
> Mit deinem Tipp aus deinem ersten Post kann ich leider
> nichts mit anfangen, da ich nicht weiß, wie ich das
> umsetzen soll.
Du weisst doch, dass
1.) [mm] \alpha [/mm] eine lineare Abbildung ist, d.h. man darf das Minus herausziehen
2.) v ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist, d.h. [mm] \alpha(v) [/mm] ist bekannt
Damit kannst Du jetzt ja auch [mm] \alpha(-v) [/mm] bestimmen. Was kommt dabei raus?
Wenn man jetzt annimmt, dass -v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] -\lambda [/mm] ist liefert das eine andere Möglichkeit zur Bestimmung von [mm] \alpha(-v). [/mm] Was bekommt man auf diesem Weg?
Gruß
piet
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Hallo.
Gilt denn die Aussagen (b) nicht?
Also ich komme mit (a) irgendwie nicht klar. Ich weiß nicht, was [mm] \alpha(-v) [/mm] ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Fr 04.05.2007 | | Autor: | piet.t |
> Hallo.
>
> Gilt denn die Aussagen (b) nicht?
Doch, sie gilt schon. Dein Weg geht auch schon in die richtige Richtung, allerdings muss man da noch etwas Arbeit reinstecken.
Du hattest ja raus, dass
[mm]\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = \lambda*(v_1+v_2)[/mm]
Wenn man das etwas umformt steht da doch
[mm](\lambda_1 - \lambda) v_1 + (\lambda_2 - \lambda) v_2 = 0[/mm]
Führen wir für die Klammern noch eine Abkürzung ein:
[mm]\mu_1 := (\lambda_1 - \lambda)[/mm]
[mm]\mu_2 := (\lambda_2 - \lambda)[/mm]
Damit sieht das ganze dann so aus:
[mm]\mu_1 v_1 + \mu_2 v_2 = 0[/mm]
Und du behauptest, dass daraus folgt dass dann [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] bzw. mit unseren Abkürzungen dass [mm] \mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2 [/mm] = 0.
Das müsste dich doch an irgendetwas erinnern 
>
> Also ich komme mit (a) irgendwie nicht klar. Ich weiß
> nicht, was [mm]\alpha(-v)[/mm] ist.
Weil [mm] \alpha [/mm] linear ist ist doch [mm] $\alpha(-v) [/mm] = - [mm] \alpha(v)$. [/mm] Und dann verwende, dass v Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] ist - einfach die Definition anwenden. Das ist schon alles für den ersten Teil.
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Okay. Das mit Teil (b) sollte ich nun verstanden haben. Da [mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0 folgt [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] und da [mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0 folgt [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda.
[/mm]
Nun nochmal zu (a). Es gilt [mm] \alpha [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] v, da v ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist. Nun gilt weiter [mm] \alpha(-v) [/mm] = [mm] -(\alpha(v)) [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] v = [mm] -\lambda [/mm] * -v. Aber das will ich doch gar nicht zeigen....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Fr 04.05.2007 | | Autor: | piet.t |
> Okay. Das mit Teil (b) sollte ich nun verstanden haben. Da
> [mm]\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0 folgt [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda[/mm] und da
> [mm]\lambda_2[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0 folgt [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda.[/mm]
Noch nicht ganz. Wenn [mm] \mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2 [/mm] = 0 (und nur dann), dann stimmt die Behauptung. Aber warum sollte das gelten? Schau dir nochmal die letzten beiden Gleichngen an, die ich im vorigen post zu diesem Thema geschrieben habe. Und dann denke stark nach, wo so etwas im Laufe der LA-Vorlesung schon mal vorgekommen ist....
>
> Nun nochmal zu (a). Es gilt [mm]\alpha[/mm] v = [mm]\lambda[/mm] v, da v ein
> Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist. Nun gilt
> weiter [mm]\alpha(-v)[/mm] = [mm]-(\alpha(v))[/mm] = [mm]-\lambda[/mm] v = [mm]-\lambda[/mm] *
> -v. Aber das will ich doch gar nicht zeigen....
Das stimmt ja auch nicht, denn das letzte Gleichheitszeichen ist in den meisten Fällen einfach falsch (Preisfrage: wann gilt hier Gleichheit?)! Aber das ist ja gerade der Knackpunkt in diesem Beweis, denn was bedeutet denn, dass -v Eigenvektor zum Eigenwert [mm] -\lambda [/mm] ist??
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Hi.
Also ich wüsste nicht, dass ich das schon mal in der LA-Vorlesung so gesehen habe, wie du das schilderst.
Also ich stehe sowohl bei (a), (b) als auch bei (c) nun völlig auf dem Schlauch. Am Anfang dachte ich, dass ich das soweit alles verstanden habe und nun weiß ich eigentlich gar nichts mehr...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Fr 04.05.2007 | | Autor: | piet.t |
> Hi.
>
> Also ich wüsste nicht, dass ich das schon mal in der
> LA-Vorlesung so gesehen habe, wie du das schilderst.
>
Vorschlag: schau doch mal unter "lineare Unabhängigkeit". Da müsste eigentlich etwas in der Art stehen....
> Also ich stehe sowohl bei (a), (b) als auch bei (c) nun
> völlig auf dem Schlauch. Am Anfang dachte ich, dass ich das
> soweit alles verstanden habe und nun weiß ich eigentlich
> gar nichts mehr...
Und bei a) sind wir ja schon fast da, wo wir hin wollen.
Wir haben ja schon festgestellt, dass [mm] $\alpha(-v) [/mm] = [mm] -\lambda [/mm] * v$.
Warum kann dann -v kein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] -\lambda [/mm] sein? Was bedeutet eigentlich "-v ist Eigenvektor zum Eigenwert [mm] -\lambda"????
[/mm]
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Also so richtig was finde ich bei uns im Skript (http://www.math.uni-kiel.de/algebra/stellmacher/la2006.pdf) nicht.
Na ja, wenn [mm] \alpha [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] v bedeutet, dass v ein Eigenvektor von v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist. Dann müsste gelten [mm] \alpha [/mm] -v = [mm] -\lambda [/mm] * -v.
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Hallo.
Also [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind linear unabhängig, falls gilt [mm] \summe_{i=1}^{2} k_i v_i [/mm] = 0 folgt [mm] k_i [/mm] = 0.
Also definiere [mm] k_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] und [mm] k_2 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda. [/mm] Dann gilt die lineare Unabhängigkeit und ich bin fertig.
Zu (a). Es scheint ja nicht immer zu gelten, aber ich wusste spontan kein Gegenbeispiel.
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> Also [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind linear unabhängig, falls gilt
> [mm]\summe_{i=1}^{2} k_i v_i[/mm] = 0 folgt [mm]k_i[/mm] = 0.
>
> So richtig klingelts da jetzt aber noch nicht bei mir.
>
>
> Zu (a). Es scheint ja nicht immer zu gelten, aber ich
> wusste spontan kein Gegenbeispiel.
Hallo,
die Wahrscheinlichkeit ist groß, daß das erste Beispiel, welches Du blindlings auswählst, gleich ein Gegenbeispiel ist.
Denn die Behauptung gilt nur in einem Spezialfall, wie Du ja eigentlich schon ausgerechnet hast.
Du setzt doch voraus, daß v ein EV von [mm] \alpha [/mm] zum EW [mm] \lambda [/mm] ist, also [mm] \alpha(v)=\lambda*v.
[/mm]
Nun nimmst Du an, daß -v ein EV zum EW [mm] -\lambda [/mm] ist, also
[mm] \alpha(-v)=-\lambda*(-v)=\lambda*v
[/mm]
Es ist aber auch [mm] \alpha(-v)=-\alpha(v)=-\lambda*v.
[/mm]
Insgesamt gilt unter obiger Annahme: [mm] -\lambda*v=\lambda*v
[/mm]
==> ???
Oder anders gefragt: gilt das für alle [mm] \lambda?
[/mm]
> Also [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind linear unabhängig, falls gilt
> [mm]\summe_{i=1}^{2} k_i v_i[/mm] = 0 folgt [mm]k_i[/mm] = 0.
>
> So richtig klingelts da jetzt aber noch nicht bei mir.
Immerhin schrieb Dir piet.t. vorhin:
"Du hattest ja raus, dass
$ [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] = [mm] \lambda\cdot{}(v_1+v_2) [/mm] $
Wenn man das etwas umformt steht da doch
$ [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda) v_1 [/mm] + [mm] (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda) v_2 [/mm] = 0 $
Führen wir für die Klammern noch eine Abkürzung ein:
$ [mm] \mu_1 [/mm] := [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] $
$ [mm] \mu_2 [/mm] := [mm] (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] $
Damit sieht das ganze dann so aus:
$ [mm] \mu_1 v_1 [/mm] + [mm] \mu_2 v_2 [/mm] = 0 $ "
Gewisse Ähnlichkeiten sind schon zu erkennen, oder?
Unter welcher Voraussetzung folgt denn nun [mm] \mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2 [/mm] = 0 ?
Ist diese Voraussetzung bei Dir gegeben?
Gruß v. Angela
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Hallo.
Wenn gilt [mm] \lambda [/mm] = [mm] -\lambda, [/mm] so gilt dies nur für [mm] \lambda [/mm] = 0.
Ich habe ja noch meine Frage bearbeitet, ist das dann nicht so richtig, wie ich das nun verändert habe?
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> Hallo.
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> Wenn gilt [mm]\lambda[/mm] = [mm]-\lambda,[/mm] so gilt dies nur für [mm]\lambda[/mm]
> = 0.
Hallo,
das Ergebnis [mm] \lambda=0 [/mm] ist richtig.
Ich bin mir aber nicht sicher, ob Du auf dem richtigen Weg zur Begründung [mm]\lambda[/mm] = [mm]-\lambda[/mm] gekommen bist.
Deshalb: v ist ein Eigenvektor (also [mm] \not=0 [/mm] !) und wir hatten festgestellt, daß [mm] \lambda v=-\lambda [/mm] v gilt.
Also ist [mm] 0=\lambda v+\lambda v=2\lambda [/mm] v.
Weil v ungleich dem Nullvektor ist, folgt hieraus [mm] \lambda=0. [/mm]
> Ich habe ja noch meine Frage bearbeitet, ist das dann nicht
> so richtig, wie ich das nun verändert habe?
Ohje, wenn Du das so machst, wird es schnell chaotisch im Thread.
Ich kopier's hier herein - aber mach so etwas nicht wieder!
> Also $ [mm] v_1 [/mm] $ und $ [mm] v_2 [/mm] $ sind linear unabhängig, falls gilt $ [mm] \summe_{i=1}^{2} k_i v_i [/mm] $ = 0
> folgt $ [mm] k_i [/mm] $ = 0.
> Also definiere $ [mm] k_1 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ - $ [mm] \lambda [/mm] $ und $ [mm] k_2 [/mm] $ = $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ - $ [mm] \lambda. [/mm] $ Dann gilt die
> lineare Unabhängigkeit und ich bin fertig.
Nein. Du hast die lineare Unabhängigkeit nicht verstanden, und ich empfehle Dir dringend, Dich damit zu beschäftigen, es ist zentral für die lineare Algebra.
Es ist also so: WENN aus [mm] k_1v_1+k_2v_2=0 [/mm] FOLGT, daß [mm] k_1=k_2=0 [/mm] gilt, so sind [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig.
WENN [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind, ist [mm] 0*v_1+0*v_2 [/mm] die einzige Möglichkeit, durch Linearkombination der beiden den Nullvektor zu erzeugen.
Zu Deiner Aufgabe:
$ [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] = [mm] \lambda\cdot{}(v_1+v_2) [/mm] $
<==>
$ [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda) v_1 [/mm] + [mm] (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda) v_2 [/mm] = 0 $
[mm] \lambda_1= \lambda [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] folgt hieraus nur dann zwangsläufig, wenn [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind, und das ist ein Thema, welches man beachten muß.
So, dreimal tief durchatmen.
Ich würde den Beweis zu b) per Widerspruch angehen:
Seien $ [mm] v_i [/mm] $ Eigenvektoren von $ [mm] \alpha [/mm] $ zu den Eigenwerten $ [mm] \lambda_i [/mm] $ für i = 1,2 und sei $ [mm] v_1 [/mm] $ + $ [mm] v_2 [/mm] $ ein Eigenvektor von $ [mm] \alpha. [/mm]
Angenommen es wäre $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ [mm] \not= [/mm] $ [mm] \lambda_2. [/mm] $
Nun müßtest Du etwas über Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten wissen,
dann so arbeiten, wie Du eingangs vorschlugst und sehr schön tatest,
schließlich die lineare Unabhängigkeit ausreizen,
und den Widerspruch zu [mm] \lambda_1 [/mm] /not= [mm] \lambda_2 [/mm] erhalten.
Gruß v. Angela
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zu (b)
Sei [mm] v_1 [/mm] der Eigenvektor zu [mm] \alpha [/mm] mit dem Eigenwert [mm] \lambda_1. [/mm] Sei weiter [mm] v_2 [/mm] der Eigenvektor zu [mm] \alpha [/mm] mit dem Eigenwert [mm] \lambda_2. [/mm] Ich nehme also an, dass gilt [mm] \lambda_1 [/mm] != [mm] \lambda_2. [/mm]
Es gilt somit zunächst [mm] \alpha v_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] und [mm] \alpha v_2 [/mm] = [mm] \lambda_2 v_2. [/mm] Weiter soll [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] sein mit dem Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Dann gilt [mm] \alpha (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \lambda (v_1 [/mm] + [mm] v_2). [/mm] Ebenso gilt [mm] \alpha (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \alpha v_1 [/mm] + [mm] \alpha v_2 [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2.
[/mm]
Somit folgt nun [mm] \lambda (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2. [/mm] Also [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda)v_1 [/mm] + [mm] (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda)v_2 [/mm] = 0.
Nach Lemma 7.1.3 der Vorlesung müssen die verschiedenen Eigenvektoren linear unabhängig sein. Definiere also [mm] k_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] und [mm] k_2 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda. [/mm] Also folgt aus [mm] k_1 v_1 [/mm] + [mm] k_2 v_2 [/mm] = 0, dass [mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = 0 gilt. Also gilt [mm] \lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0 und somit [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0, also [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda.
[/mm]
Das müsste doch jetzt der Beweis sein. Kannst du mir jetzt noch einen Tipp für den Aufgabenteil (c) geben?
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> zu (b)
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> Sei [mm]v_1[/mm] der Eigenvektor zu [mm]\alpha[/mm] mit dem Eigenwert
> [mm]\lambda_1.[/mm] Sei weiter [mm]v_2[/mm] der Eigenvektor zu [mm]\alpha[/mm] mit dem
> Eigenwert [mm]\lambda_2.[/mm] Ich nehme also an, dass gilt [mm]\lambda_1[/mm]
> [mm] \not=[/mm] [mm]\lambda_2.[/mm]
>
> Es gilt somit zunächst [mm]\alpha v_1[/mm] = [mm]\lambda_1 v_1[/mm] und
> [mm]\alpha v_2[/mm] = [mm]\lambda_2 v_2.[/mm] Weiter soll [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2[/mm] ein
> Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] sein mit dem Eigenwert [mm]\lambda.[/mm] Dann
> gilt [mm]\alpha (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\lambda (v_1[/mm] + [mm]v_2).[/mm] Ebenso gilt
> [mm]\alpha (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\alpha v_1[/mm] + [mm]\alpha v_2[/mm] = [mm]\lambda_1 v_1[/mm]
> + [mm]\lambda_2 v_2.[/mm]
>
> Somit folgt nun [mm]\lambda (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] = [mm]\lambda_1 v_1[/mm] +
> [mm]\lambda_2 v_2.[/mm] Also [mm](\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda)v_1[/mm] + [mm](\lambda_2[/mm] -
> [mm]\lambda)v_2[/mm] = 0.
>
> Nach Lemma 7.1.3 der Vorlesung müssen die verschiedenen
> Eigenvektoren linear unabhängig sein.
Jaaaaaaaa! Fast:
Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.
Das war der Knackpunkt.
Definiere also [mm]k_1[/mm] =
> [mm]\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda[/mm] und [mm]k_2[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] - [mm]\lambda.[/mm] Also
> folgt aus [mm]k_1 v_1[/mm] + [mm]k_2 v_2[/mm] = 0, dass [mm]k_1[/mm] = [mm]k_2[/mm] = 0 gilt.
> Also gilt [mm]\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0 und somit [mm]\lambda_1[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0, also [mm]\lambda_2[/mm] =
> [mm]\lambda.[/mm]
Widerspruch zur Voraussetzung, daß die beiden Eigenwerte verschieden sind. Also sind die Eigenwerte gleich.
>
> Das müsste doch jetzt der Beweis sein. Kannst du mir jetzt
> noch einen Tipp für den Aufgabenteil (c) geben?
Guck, was Dir generation...x geschrieben hat.
Sei v EV von [mm] \alpha [/mm] und von [mm] \beta. [/mm]
Nun berechne [mm] \alpha(\beta(v)).
[/mm]
Gruß v. Angela
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So. Da bin ich nun wieder...
Sei v ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda_\alpha. [/mm] Dann gilt [mm] \alpha [/mm] v = [mm] \lambda_\alpha [/mm] v. Sei weitet v ein Eigenvektor von [mm] \beta [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda_\beta. [/mm] Dann gilt [mm] \beta [/mm] v = [mm] \lambda:\beta [/mm] v. Es gilt nun
[mm] \alpha(\beta [/mm] v) = [mm] \alpha (\lambda_\beta [/mm] v) = [mm] \lambda_\beta (\alpha [/mm] v) = [mm] \lambda_\beta \lambda_\alpha [/mm] v
[mm] \beta(\alpha [/mm] v) = [mm] \beta (\lambda_\alpha [/mm] v) = [mm] \lambda_\alpha (\beta [/mm] v) = [mm] \lambda_\alpha \lambda_\beta [/mm] v
Somit ist v ein Eigenvektor von [mm] \alpha\beta [/mm] mit dem Eigenwert [mm] \lambda_\alpha [/mm] * [mm] \lambda_\beta.
[/mm]
Ist das so richtig? Müsste doch eigentlich, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 05.05.2007 | | Autor: | piet.t |
> So. Da bin ich nun wieder...
>
> Sei v ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert
> [mm]\lambda_\alpha.[/mm] Dann gilt [mm]\alpha[/mm] v = [mm]\lambda_\alpha[/mm] v. Sei
> weitet v ein Eigenvektor von [mm]\beta[/mm] zum Eigenwert
> [mm]\lambda_\beta.[/mm] Dann gilt [mm]\beta[/mm] v = [mm]\lambda:\beta[/mm] v. Es gilt
> nun
>
> [mm]\alpha(\beta[/mm] v) = [mm]\alpha (\lambda_\beta[/mm] v) = [mm]\lambda_\beta (\alpha[/mm]
> v) = [mm]\lambda_\beta \lambda_\alpha[/mm] v
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genau so gehts!
>
> [mm]\beta(\alpha[/mm] v) = [mm]\beta (\lambda_\alpha[/mm] v) = [mm]\lambda_\alpha (\beta[/mm]
> v) = [mm]\lambda_\alpha \lambda_\beta[/mm] v
Das braucht man eigentlich nicht mehr zu betrachten, denn es war ja nur verlangt, [mm] \alpha\beta [/mm] zu untersuchen. [mm] \beta\alpha [/mm] war in der Aufgabe nicht verlangt.
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> Somit ist v ein Eigenvektor von [mm]\alpha\beta[/mm] mit dem
> Eigenwert [mm]\lambda_\alpha[/mm] * [mm]\lambda_\beta.[/mm]
>
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> Ist das so richtig? Müsste doch eigentlich, oder?
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