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Aussagen über Determinanten: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 So 03.07.2005
Autor: abudabu

Hallo allerseits,

mal ne Frage zu Determinanten. Sind folgende Aussagen richtig?

det(A) = 0 => A *  [mm] \vec{x} [/mm] = 0 hat nichttriviale Lösungen und A *  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] hat keine oder nicht eindeutige Lösung

det(A)  [mm] \not= [/mm] 0 => A *  [mm] \vec{x} [/mm] = 0 hat nur den Nullvektor als Lösungen und A *  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] hat eindeutige Lösung.

Hab mir das gerade aus mehreren Quellen zusammengesammelt und möchte das gerne noch von "höherer Stelle" abgesegnet:-)

Danke
Ricky


        
Bezug
Aussagen über Determinanten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 So 03.07.2005
Autor: DaMenge

Hallo,

du hast fast recht - du musst nur unbedingt dazu schreiben, dass A quadratisch sein soll, denn dann gilt:
A invertierbar $ [mm] \gdw [/mm] $ det(A) nicht 0

für quadratische Matrizen bedeutet invertierbrakeit ja bijektive Abbildung, also insbesondere injektiv (Kern ist trivial) und surjektiv (für jedes b gibt es... (eindeutigkeit folgt wegen injektivität) )

wenn eine Matrix nicht invertierbar ist, kann sie nicht bijektiv sein, also im quadratischen Fall nicht injektiv (dann folgt : nicht surjektiv) oder andersrum.

Also, zusammenfassend : deine Aussagen stimmen für lineare abbildung zwischen gleichdimensionalen Räumen (die ja durch die quadratischen Matrizen darstellbar sind und umgekehrt.)

viele Grüße
DaMenge

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