Aufstellen einer Diff.gl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Do 06.02.2014 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | 1.) h(t) ist höhe der Pflanze zur Zeit t, zeitliche Änderungsrate von h(t) sei direkt proportional zu h(t) und umgekehrt proportional zu [mm] t^{3} [/mm] (h´(t) ~ [mm] \bruch{h(t)}{t^{3}} [/mm] ,
Frühstadium des Wachstums). Ermittle h(t), wenn Maßeinheiten so gewählt, dass h(1) =1. |
Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor. Allerdings tue ich mich mit so welchen Aufgaben wie oben schwer. Deshalb würde ich gerne mal wissen ob es richtig ist.
Also meine Dgl. lautet:
[mm] h'(t)=k*h(t)+\bruch{h(t)}{t^{3}}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo,
> 1.) h(t) ist höhe der Pflanze zur Zeit t, zeitliche
> Änderungsrate von h(t) sei direkt proportional zu h(t) und
> umgekehrt proportional zu [mm]t^{3}[/mm] (h´(t) ~
> [mm]\bruch{h(t)}{t^{3}}[/mm] ,
>
> Frühstadium des Wachstums). Ermittle h(t), wenn
> Maßeinheiten so gewählt, dass h(1) =1.
> Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor. Allerdings
> tue ich mich mit so welchen Aufgaben wie oben schwer.
> Deshalb würde ich gerne mal wissen ob es richtig ist.
>
> Also meine Dgl. lautet:
>
> [mm]h'(t)=k*h(t)+\bruch{h(t)}{t^{3}}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein. So wie du das geschrieben hast, ist das schlicht und ergreifend
[mm] h'(t)=k*\bruch{h(t)}{t^3}
[/mm]
Du hast hier fälschlicherweise das logische und als Addition aufgefasst.
EDIT: fehlende Proportionalitätskonstante ergänzt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Do 06.02.2014 | | Autor: | riju |
> Hallo,
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> > 1.) h(t) ist höhe der Pflanze zur Zeit t, zeitliche
> > Änderungsrate von h(t) sei direkt proportional zu h(t)
> und
> > umgekehrt proportional zu [mm]t^{3}[/mm] (h´(t) ~
> > [mm]\bruch{h(t)}{t^{3}}[/mm] ,
> >
> > Frühstadium des Wachstums). Ermittle h(t), wenn
> > Maßeinheiten so gewählt, dass h(1) =1.
> > Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor.
> Allerdings
> > tue ich mich mit so welchen Aufgaben wie oben schwer.
> > Deshalb würde ich gerne mal wissen ob es richtig ist.
> >
> > Also meine Dgl. lautet:
> >
> > [mm]h'(t)=k*h(t)+\bruch{h(t)}{t^{3}}[/mm]
> >
> > Ist das richtig?
>
> Nein. So wie du das geschrieben hast, ist das schlicht und
> ergreifend
>
> [mm]h'(t)=\bruch{h(t)}{t^3}[/mm]
>
> Du hast hier fälschlicherweise das logische und als
> Addition aufgefasst.
>
> Gruß, Diophant
Also muss ich jetzt daraus eine Multiplikation machen oder wie?
Gruß riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Do 06.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Also muss ich jetzt daraus eine Multiplikation machen oder wie?
Was meinst du mit Multiplikation?
Du hast folgendes für $h(t)>0$:
[mm] h'(t)=\bruch{h(t)}{t^3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{dh}{dt}=\bruch{h}{t^3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{dh}{h}=\frac{dt}{t^3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int{\frac{1}{h}dh}=\int{\frac{1}{t^3}dt}
[/mm]
- Oder von mir aus direkt mit den Integrationsgrenzen:
[mm] \Rightarrow \int_{1}^{h}{\frac{1}{\xi}d\xi}=\int_{1}^{t}{\frac{1}{\eta^3}d\eta}
[/mm]
Jetzt du!
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 06.02.2014 | | Autor: | riju |
> Hallo,
>
>
> > Also muss ich jetzt daraus eine Multiplikation machen oder
> wie?
>
> Was meinst du mit Multiplikation?
>
> Du hast folgendes für [mm]h(t)>0[/mm]:
>
> [mm]h'(t)=\bruch{h(t)}{t^3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{dh}{dt}=\bruch{h}{t^3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{dh}{h}=\frac{dt}{t^3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \int{\frac{1}{h}dh}=\int{\frac{1}{t^3}dt}[/mm]
>
> - Oder von mir aus direkt mit den Integrationsgrenzen:
>
> [mm]\Rightarrow \int_{1}^{h}{\frac{1}{\xi}d\xi}=\int_{1}^{t}{\frac{1}{\eta^3}d\eta}[/mm]
>
> Jetzt du!
>
>
> Gruß
> DieAcht
Ich wollte nur wissen, ob [mm] h'(t)=\bruch{h(t)}{t^3} [/mm] die gesuchte Gleichung ist.
Nachdem ich [mm] \int{\frac{1}{h}dh}=\int{\frac{1}{t^3}dt} [/mm] integriert habe, komme ich auf:
[mm] h(t)=Ce^{-\bruch{1}{2t^{2}}}
[/mm]
Wenn ich jetzt noch die Anfangsbedingung einsetze komme ich auf:
[mm] h(t)=e^{\bruch{1}{2}(1-t^{2})}
[/mm]
Ist das richtig?
Also muss ich "zeitliche Änderungsrate von h(t) sei direkt proportional zu h(t) und umgekehrt proportional zu t3 (h´(t) ~ [mm] \bruch{h(t)}{t^{3}}" [/mm] (den kursiven Teil) beim Aufstellen der Gleichung nicht mit beachten?
Gruß riju
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Do 06.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> Nachdem ich [mm]\int{\frac{1}{h}dh}=\int{\frac{1}{t^3}dt}[/mm]
> integriert habe, komme ich auf:
> [mm]h(t)=Ce^{-\bruch{1}{2t^{2}}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich jetzt noch die Anfangsbedingung einsetze komme ich
> auf:
> [mm]h(t)=e^{\bruch{1}{2}(1-t^{2})}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Das ist falsch.
So wie ich das nun sehe musst du das ehe mit dem vergessenen
$k$ verarzten.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Do 06.02.2014 | | Autor: | riju |
> Hallo nochmal,
>
>
> > Ich wollte nur wissen, ob [mm]h'(t)=\bruch{h(t)}{t^3}[/mm] die
> gesuchte Gleichung ist.
>
> Ja, das ist sie.
>
> > Nachdem ich [mm]\int{\frac{1}{h}dh}=\int{\frac{1}{t^3}dt}[/mm]
> > integriert habe, komme ich auf:
> > [mm]h(t)=Ce^{-\bruch{1}{2t^{2}}}[/mm]
>
>
>
> > Wenn ich jetzt noch die Anfangsbedingung einsetze komme ich
> > auf:
> > [mm]h(t)=e^{\bruch{1}{2}(1-t^{2})}[/mm]
> >
> > Ist das richtig?
>
> Das ist falsch.
>
> > Also muss ich "zeitliche Änderungsrate von h(t) sei
> direkt
> > proportional zu h(t) und umgekehrt proportional zu t3
> > (h´(t) ~ [mm]\bruch{h(t)}{t^{3}}"[/mm] (den kursiven Teil) beim
> > Aufstellen der Gleichung nicht mit beachten?
>
> Das weiß ich nicht, denn ich habe deine Frage nicht
> richtig
> interpretiert.
>
>
> Gruß
> DieAcht
Ich hatte den Fehler schon bemerkt:
Nach einsetzen der Anfangsbedingung muss das so lauten:
[mm] h(t)=e^{\bruch{1}{2}(1-\bruch{1}{t^{2}})}
[/mm]
Und wenn ich jetzt noch die Proportionalitätskonstante betrachte ist die Endlösung: [mm] h(t)=e^{\bruch{k}{2}(1-\bruch{1}{t^{2}})}
[/mm]
Jetzt müsste es richtig sein, oder?
Gruß riju
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 06.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du darfst nicht erst danach die Konstante einsetzen. Ich komm
auf folgendes (Zwischen-)Ergebnis:
[mm] h(t)=Ce^{-\frac{k}{2t^2}}
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 06.02.2014 | | Autor: | riju |
> Hallo,
>
>
> Du darfst nicht erst danach die Konstante einsetzen. Ich
> komm
> auf folgendes (Zwischen-)Ergebnis:
>
> [mm]h(t)=Ce^{-\frac{k}{2t^2}}[/mm]
>
>
> Gruß
> DieAcht
Ja das hatte ich auch. Ich hatte halt gleich die Lösung hingeschrieben, nachdem ich die Anfangsbedingung berücksichtigt habe.
Für C habe ich dann folgendes raus: [mm] C=e^{\bruch{k}{2}} [/mm]
Nachdem ich das C einsetze habe ich dann
[mm] h(t)=e^{\bruch{k}{2}(1-\bruch{1}{t^{2}})}
[/mm]
So ist doch richtig oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Do 06.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Hallo,
> >
> >
> > Du darfst nicht erst danach die Konstante einsetzen. Ich
> > komm
> > auf folgendes (Zwischen-)Ergebnis:
> >
> > [mm]h(t)=Ce^{-\frac{k}{2t^2}}[/mm]
> >
> >
> > Gruß
> > DieAcht
>
> Ja das hatte ich auch. Ich hatte halt gleich die Lösung
> hingeschrieben, nachdem ich die Anfangsbedingung
> berücksichtigt habe.
> Für C habe ich dann folgendes raus: [mm]C=e^{\bruch{k}{2}}[/mm]
>
> Nachdem ich das C einsetze habe ich dann
> [mm]h(t)=e^{\bruch{k}{2}(1-\bruch{1}{t^{2}})}[/mm]
>
> So ist doch richtig oder?
Ja.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:06 Do 06.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
da h' nur proportional zu [mm] h/t^3 [/mm] fehlt noch eine Proportionalitätskonstante.
[mm] h'=k*h/t^3
[/mm]
Gruß leduart
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:50 Do 06.02.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo leduart,
> Hallo
> da h' nur proportional zu [mm]h/t^3[/mm] fehlt noch eine
> Proportionalitätskonstante.
> [mm]h'=k*h/t^3[/mm]
> Gruß leduart
jep: die hatte ich vergessen.- Danke fürs Aufpassen! 
Gruß, Diophant
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