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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mi 23.07.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Der Graph [mm] G_{f} [/mm] einer Funktion vierten Grades hat im Usprung einen Sattelpunkt und besitzt den Tiefpunkt T [mm] (-3/-\bruch{9}{8})
[/mm]
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f. |
Meine Frage:
Wie komme ich bei den gegebenen Informationen, auf 5 Lösungsgleichungen?
Meine Ansätze:
Allgemeine Form
f(x) = [mm] ax^4+bx^3+cx^3+dx^2+e
[/mm]
1. Ableitung
f'(x) = [mm] 4ax^3 [/mm] + [mm] 3bx^2 [/mm] + 2dx
2. Ableitung
f''(x) = [mm] 12ax^2 [/mm] + 6bx + 2d
1. Gleichung
Sattelpunkt im Ursprung [mm] \hat= f''(x_{0})=0 [/mm] ; [mm] x_{0}=0 [/mm]
2. Gleichung
1 Punkt P (0/0) (Sattelpunkt), der auf dem Graphen liegt = [mm] f(x_{0})=y_{0} [/mm] ; [mm] x_{0}=0 [/mm] , [mm] y_{0}=0 [/mm]
3. Gleichung
1 Nustelle bei [mm] x_{0} [/mm] = 0 (da der Graph durch den Ursprung geht) = [mm] f(x_{0})=0 [/mm]
4. Gleichung
Tiefpunkt T [mm] (-3/-\bruch{9}{8}) \hat= [/mm] 1 Extremwert, also [mm] f'(x_{0})=0 [/mm] , [mm] x_{0} [/mm] = -3
Nun steht in der Lösung als 5. Gleichung, eben jene, die ich nicht finden kann:
[mm] f'(x_{0})=0 [/mm] ; [mm] x_{0}=0
[/mm]
Ich glaube, dass meine Vermutung des Rätsels Lösung ist, möchte hier aber bitte nochmal Tipps/Anregungen/Vorschläge einholen... und zwar die Frage:
Kann es sein, dass die Bedingung:
[mm] f'(x_{0})=0 [/mm] ; [mm] x_{0}=0 [/mm]
dadurch entsteht, dass, wenn ein Wende- oder Sattelpunkt eines Graphen f vorliegt, die 1. Ableitung an genau diesem Punkt einen Extrempunkt besitzt und (der Gegebene Sattelpunkt in der Angabe den Extrempunkt in der Abgeleiteten Funktion impliziert) daher die 5. und gesuchte Gleichung
[mm] f'(x_{0})=0 [/mm] ; [mm] x_{0}=0 [/mm]
lauten muss?
Sorry für die chaotische Struktur in meinem Post, auf dem Papier gehts irgendwie einfacher:)
Sorry auch falls umständlich formuliert.
Gruß
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Hallo ChopSuey,
> Der Graph [mm]G_{f}[/mm] einer Funktion vierten Grades hat im
> Usprung einen Sattelpunkt und besitzt den Tiefpunkt T
> [mm](-3/-\bruch{9}{8})[/mm]
> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f.
> Meine Frage:
>
> Wie komme ich bei den gegebenen Informationen, auf 5
> Lösungsgleichungen?
>
> Meine Ansätze:
> Allgemeine Form
> f(x) = [mm] ax^4+bx^3+cx^{\red{2}}+d\red{x}+e [/mm]
oh, da hast du dich verschrieben 
Damit werden die weiteren Ableitungen falsch ...
> 1. Ableitung
> f'(x) = [mm]4ax^3[/mm] + [mm]3bx^2[/mm] + 2dx ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> 2. Ableitung
> f''(x) = [mm]12ax^2[/mm] + 6bx + 2d
>
> 1. Gleichung
> Sattelpunkt im Ursprung [mm]\hat= f''(x_{0})=0[/mm] ; [mm]x_{0}=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Gleichung
> 1 Punkt P (0/0) (Sattelpunkt), der auf dem Graphen liegt =
> [mm]f(x_{0})=y_{0}[/mm] ; [mm]x_{0}=0[/mm] , [mm]y_{0}=0[/mm]
>
> 3. Gleichung
> 1 Nustelle bei [mm]x_{0}[/mm] = 0 (da der Graph durch den Ursprung
> geht) = [mm]f(x_{0})=0[/mm]
Hmm, das ist dieselbe Gleichung wie 2.
>
> 4. Gleichung
> Tiefpunkt T [mm](-3/-\bruch{9}{8}) \hat=[/mm] 1 Extremwert, also
> [mm]f'(x_{0})=0[/mm] , [mm]x_{0}[/mm] = -3
Der Tiefpunkt ist doch auch Punkt des Graphen, also [mm] $f(-3)=-\frac{9}{8}$
[/mm]
Das ist die "Ersatzgleichung" für 3.
>
> Nun steht in der Lösung als 5. Gleichung, eben jene, die
> ich nicht finden kann:
>
> [mm]f'(x_{0})=0[/mm] ; [mm]x_{0}=0[/mm]
>
> Ich glaube, dass meine Vermutung des Rätsels Lösung ist,
> möchte hier aber bitte nochmal Tipps/Anregungen/Vorschläge
> einholen... und zwar die Frage:
>
> Kann es sein, dass die Bedingung:
>
> [mm]f'(x_{0})=0[/mm] ; [mm]x_{0}=0[/mm]
>
> dadurch entsteht, dass, wenn ein Wende- oder Sattelpunkt
> eines Graphen f vorliegt, die 1. Ableitung an genau diesem
> Punkt einen Extrempunkt besitzt und (der Gegebene
> Sattelpunkt in der Angabe den Extrempunkt in der
> Abgeleiteten Funktion impliziert) daher die 5. und gesuchte
> Gleichung
Im Sattelpunkt [mm] $x_S$ [/mm] hat der Funktionsgraph eine waagerechte Tangente, die Steigung des Graphen ist quasi "kurzfristig" 0, es ist also [mm] $f'(x_S)=0$
[/mm]
Für einen Sattelpunkt hast du also die Bedingungen
(1) [mm] $f'(x_S)=0$
[/mm]
(2) [mm] $f''(x_S)=0$
[/mm]
(3) [mm] $f'''(x_S)\neq [/mm] 0$
>
> [mm]f'(x_{0})=0[/mm] ; [mm]x_{0}=0[/mm]
>
> lauten muss?
Ja, das ist die fehlende Gleichung
>
> Sorry für die chaotische Struktur in meinem Post, auf dem
> Papier gehts irgendwie einfacher:)
> Sorry auch falls umständlich formuliert.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 23.07.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi schachuzipus,
vielen Dank schonmal:)
Bei den Ableitungen ist mir lediglich ein Tippfehler unterlaufen, das hat ursprünglich schon gestimmt, danke dennoch für den Hinweis.
Das mit der Steigung des Sattelpunktes hab ich auch verstanden, ist einleuchtend:)
Nun stellt sich mir die Frage:
Ist bei einem Wendepunkt, ganz gleich welcher Art, immer auch automatisch eine Steigung gegeben, die, wenn ein Sattelpunkt vorliegt, ganz einfach die steigung m=0 besitzt?
Das würde dann nämlich bedeuten, dass ein Wendepunkt (aufgrund der implizierten Steigung der Tangente), immer 2 Gleichungen hergibt.
Gruß
Chopsuey
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus,
>
> vielen Dank schonmal:)
>
> Bei den Ableitungen ist mir lediglich ein Tippfehler
> unterlaufen, das hat ursprünglich schon gestimmt
Das dachte ich mir schon
> , danke dennoch für den Hinweis.
>
> Das mit der Steigung des Sattelpunktes hab ich auch
> verstanden, ist einleuchtend:)
>
> Nun stellt sich mir die Frage:
>
> Ist bei einem Wendepunkt, ganz gleich welcher Art, immer
> auch automatisch eine Steigung gegeben , die, wenn ein
> Sattelpunkt vorliegt, ganz einfach die steigung m=0
> besitzt?
Ja, wenn der Wendpunkt [mm] $x_W$ [/mm] ein Sattelpunkt ist, weißt du automatisch, dass die Steigung in diesem Punkt 0 ist, also [mm] $f'(x_W)=0$
[/mm]
Im Allg. kannst du aber über die Steigung eines WP nix sagen
>
> Das würde dann nämlich bedeuten, dass ein Wendepunkt
> (aufgrund der implizierten Steigung der Tangente), immer 2
> Gleichungen hergibt.
Das sehe ich nicht, woher willst du denn wissen, wie die Steigung in einem Wendepunkt ist, der kein Sattelpunkt ist?
Das ist implizit nämlich nicht klar , gibt dir somit auch keine Gleichung
>
> Gruß
> Chopsuey
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mi 23.07.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Stimmt, hast recht
Vielen Dank, hast mir sehr geholfen!
Schönen Abend
gruß
ChopSuey
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