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| Aufgabe | a) Untersuchen Sie, beispielsweise durch Berechnung einer geeigneten Determinante, für welche Werte [mm] r\in\IR [/mm] der Punkt P=(1,0,2) in der Ebene
E: [mm] x=\vektor{1 \\ -r\\ 1}+t*\vektor{1 \\ 2\\ r+2}+s*\vektor{-1 \\ r+1\\ r}
[/mm]
liegt.
b) Analog zu Ebenen im Raum [mm] \IR^3 [/mm] kann man Ebenen im [mm] \IR^4 [/mm] definieren:
[mm]E: x=t*u+s*v[/mm]
ist die durch (nicht parallelen) richtungsvektoren [mm] u,v\in\IR^4 [/mm] aufgespannte Ebene, die den Nullpunkt enthalt. Untersuchen Sie für u=(1,3,-1,2), v=(-2,1,3,1), ob [mm] w_1=(49,35,-65,18), w_2=(-\bruch{2}{3},\bruch{3}{2},\bruch{7}{6},\bruch{7}{6}) [/mm] in der durch u,v aufgespannten Ebene liegen. Berechnen Sie ggf. [mm] t,s\in\IR, [/mm] sodass [mm] w_i=tu+sv [/mm] gilt. |
a)
Der Punkt P liegt in der Ebene, wenn es gilt:
[mm] det\pmat{ 1 & 1& -1\\ 0 & 2&r+1\\ 2 & r+2 & r}=0
[/mm]
[mm] -r^2+r+4=0
[/mm]
Für
[mm] r_1=\bruch{1+\wurzel{17}}{2}
[/mm]
[mm] r_2=\bruch{1-\wurzel{17}}{2}
[/mm]
liegt der Punkt P in der Ebene.
Stimmt die Lösung?
An meiner Rechnung stört mich folgendes problem: Im Stützvektor ist ebenfalls der Faktor r enthalten, aber der stützvektor wird in meiner Rechnung nicht berücksichtigt. Wieso wird der stützvektor vernachlässigt? Der stützvektor ist doch Sehr entscheident, wenn es darum geht ob ein Punkt in einer Ebene liegt. betrachtet man zum Beispeil das folgende Bild
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Bild sieht man die Ebene:
E: [mm] x=\vec{q}+s*\vec{u}+t*\vec{v}
[/mm]
Im linken Koordinatensystem ist der Punkt P in der Ebene. Im rechten system wurde der stützvektor so verändert, das der Punkt P nicht mehr in der Ebene liegt. Der stützvektor ist also wichtig. Wieso wird er bei der Determinante vernachlässigt?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Mit deinem Gefühl hast du vollkommen recht. Aber warum unternimmst du dann nichts dagegen? "Wieso wird der Stützvektor vernachlässigt?", fragst du. Du solltest fragen: "Warum vernachlässige ich den Stützvektor?"
Sind [mm]\vec{a}[/mm] Stützvektor und [mm]\vec{u}, \vec{v}[/mm] Richtungsvektoren der Ebene [mm]E[/mm], dann liegt der Punkt [mm]P[/mm] mit dem Ortsvektor [mm]\vec{p}[/mm] dann und nur dann in [mm]E[/mm], wenn die Vektoren [mm]\vec{p}-\vec{a}, \, \vec{u}, \, \vec{v}[/mm] linear abhängig sind. Zeichne eine Skizze, dann siehst du das sofort. Verbessere entsprechend deine Determinante.
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$ [mm] det\pmat{ 0 & 1 & -1\\ r & 2&r+1\\ 1 & r+2 & r}=0=-2r^2-r+3 [/mm] $
Für
[mm] r_1=1
[/mm]
[mm] r_2=-\bruch{3}{2}
[/mm]
liegt der Punkt P in der Ebene. Stimmt die Lösung jetzt?
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b)
[mm] w_1 [/mm] liegt in der Ebene für s=-16 und t=17
[mm] w_2 [/mm] liegt in der Ebene für [mm] s=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] t=\bruch{1}{3}
[/mm]
Kann jemand die Lösung bestätigen?
Hier hätte ich die Aufgabe nicht mit der Determinante lösen können, weil ich keine quadratische Matrix habe. richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:55 Di 17.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> b)
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> [mm]w_1[/mm] liegt in der Ebene für s=-16 und t=17
>
> [mm]w_2[/mm] liegt in der Ebene für [mm]s=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]t=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Kann jemand die Lösung bestätigen?
Ja, ich.
>
> Hier hätte ich die Aufgabe nicht mit der Determinante
> lösen können, weil ich keine quadratische Matrix habe.
> richtig ?
Ja
FRED
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