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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Do 05.11.2009 | | Autor: | denzil |
| Aufgabe | Man zeige für Zahlen a, b [mm] \in \IR [/mm] die Beziehung ("Youngsche Ungleichung")
[mm] \\2|ab| \le \varepsilon a^{2} [/mm] + [mm] \varepsilon^{-1}b^{2}
[/mm]
mit beliebigem [mm] \varepsilon \in \IR_{+} [/mm] |
Soweit so gut. Die Aufgabe stammt aus unserem Ana-Skript.
Als Lösung ist folgendes angegeben:
[mm] \varepsilon a^{2} \pm \\2ab [/mm] + [mm] \bruch{1}{\varepsilon}b^{2} [/mm] = ... = [mm] (\wurzel{\varepsilon}a \pm \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}} b)^{2} \ge \\0
[/mm]
Der ausgelassene Zwischenschritt ist eine Erweiterung mit [mm] \wurzel{\varepsilon}. [/mm] Der eigentliche Punkt meiner Frage ist folgender: Ich hole ja die [mm] \\2|ab| [/mm] nach rechts, was passiert mit den Betragsstrichen?! Warum wird das zu einem [mm] "\pm" [/mm] ?
Denzil
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> Man zeige für Zahlen a, b [mm]\in \IR[/mm] die Beziehung
> ("Youngsche Ungleichung")
>
> [mm]\\2|ab| \le \varepsilon a^{2}[/mm] + [mm]\varepsilon^{-1}b^{2}[/mm]
>
> mit beliebigem [mm]\varepsilon \in \IR_{+}[/mm]
> Soweit so gut. Die
> Aufgabe stammt aus unserem Ana-Skript.
> Als Lösung ist folgendes angegeben:
>
> [mm]\varepsilon a^{2} \pm \\2ab[/mm] + [mm]\bruch{1}{\varepsilon}b^{2}[/mm] =
> ... = [mm](\wurzel{\varepsilon}a \pm \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}} b)^{2} \ge \\0[/mm]
>
> Der ausgelassene Zwischenschritt ist eine Erweiterung mit
> [mm]\wurzel{\varepsilon}.[/mm] Der eigentliche Punkt meiner Frage
> ist folgender: Ich hole ja die [mm]\\2|ab|[/mm] nach rechts, was
> passiert mit den Betragsstrichen?! Warum wird das zu einem
> [mm]"\pm"[/mm] ?
naja das kennst du evtl von wurzeln. bsp:
[mm] \sqrt{x^2}=|x| [/mm] bzw [mm] \pm [/mm] x
was eigentlich ja nur die kombination beider einzelfälle darstellt, um nicht beide fälle getrennt durchzurechnen.
|x| [mm] =\begin{cases}
\ \;\,\ \ x &\mathrm{f\ddot ur}\ x \ge 0\\
\ \;\, - x &\mathrm{f\ddot ur}\ x < 0
\end{cases}
[/mm]
oder auch kurz [mm] |x|=\pm [/mm] x
>
> Denzil
gruß tee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Das mit " [mm] \pm" [/mm] ist gar nicht nötig, wenn man [mm] $x^2 [/mm] = [mm] |x|^2$ [/mm] beachtet:
$ [mm] \\2|ab| \le \varepsilon a^{2} [/mm] $ + $ [mm] \varepsilon^{-1}b^{2} \gdw (\wurzel{\varepsilon}|a|- \bruch{|b|^2}{\wurzel{\varepsilon}})^2 \ge [/mm] 0 $
FRED
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