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Aufleitung einer Integralfkt.: Frage zu einer Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 So 19.10.2008
Autor: logix

Aufgabe
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = [mm] \wurzel{x^2+3} [/mm] und der Abszisse im Intervall [0;4]

Hallo,

Ich sitze gerade an einem Referat über die Keplersche Fassregel.
Ich habe die Fläche zuerst mit der Keplerschen Fassregel berechnet:
Siehe hier:[]http://www8.picfront.org/picture/V9jpfdvi/img/bild.jpg

Das ist ein Näherungswert und ich möchte daher die exakte Fläche zum Vergleich ausrechnen, schaffe das aber nicht.

Wie ich vorgegangen bin:

I   =   [mm] \integral_{0}^{4}{\wurzel{x^2+3} dx} [/mm]
I   =   [mm] \integral_{0}^{4}{(x^2+3)^{1/2} dx} [/mm]

Nun komme ich aber nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie ich davon eine Stammfunktion bilden kann. Kann man das in diesem Fall überhaupt so einfach?

Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?

Mit freundlichen Grüßen,

logix

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Aufleitung einer Integralfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 So 19.10.2008
Autor: zetamy


> Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x)
> = [mm]\wurzel{x^2+3}[/mm] und der Abszisse im Intervall [0;4]
>  Hallo,
>  
> Ich sitze gerade an einem Referat über die Keplersche
> Fassregel.
>  Ich habe die Fläche zuerst mit der Keplerschen Fassregel
> berechnet:
>  Siehe
> hier:[]http://www8.picfront.org/picture/V9jpfdvi/img/bild.jpg
>  
> Das ist ein Näherungswert und ich möchte daher die exakte
> Fläche zum Vergleich ausrechnen, schaffe das aber nicht.
>  
> Wie ich vorgegangen bin:
>  
> I   =   [mm]\integral_{0}^{4}{\wurzel{x^2+3} dx}[/mm]
>  I   =  
> [mm]\integral_{0}^{4}{x^2+3)^{1/2} dx}[/mm]
>  
> Nun komme ich aber nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie
> ich davon eine Stammfunktion bilden kann. Kann man das in
> diesem Fall überhaupt so einfach?
>  
> Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?

Hallo,

da ich mir nicht sicher bin, lasse ich die Frage auf teilweise beantwortet. Falls jemand was besseres hat, nur zu. Soweit ich das sehe, ist die Stammfunktion nicht gerade einfach:

[mm] $\frac{x\sqrt{ x^2+3}}{2} [/mm] + [mm] \frac{3}{2}\cdot arcsinh\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$ [/mm]

Falls möglich suche dir eine einfacher Aufgabe für dein Referat. Oder nimm diese Funktion als Beispiel warum die Kepplersche Fassregel nützlich ist ;-)

Gruß, zetamy
Bezug
                
Bezug
Aufleitung einer Integralfkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 So 19.10.2008
Autor: logix

Danke für die Antwort. Werde wohl eine anderes Beispiel verwenden.

Mit freundlichen Grüßen,

logix
Bezug
        
Bezug
Aufleitung einer Integralfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 So 19.10.2008
Autor: MathePower

Hallo logix,

[willkommenmr]

> Berechne die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x)
> = [mm]\wurzel{x^2+3}[/mm] und der Abszisse im Intervall [0;4]
>  Hallo,
>  
> Ich sitze gerade an einem Referat über die Keplersche
> Fassregel.
>  Ich habe die Fläche zuerst mit der Keplerschen Fassregel
> berechnet:
>  Siehe
> hier:[]http://www8.picfront.org/picture/V9jpfdvi/img/bild.jpg
>  
> Das ist ein Näherungswert und ich möchte daher die exakte
> Fläche zum Vergleich ausrechnen, schaffe das aber nicht.
>  
> Wie ich vorgegangen bin:
>  
> I   =   [mm]\integral_{0}^{4}{\wurzel{x^2+3} dx}[/mm]
>  I   =  
> [mm]\integral_{0}^{4}{(x^2+3)^{1/2} dx}[/mm]
>  
> Nun komme ich aber nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie
> ich davon eine Stammfunktion bilden kann. Kann man das in
> diesem Fall überhaupt so einfach?


Die Stammfunktion zu obigen Integranden, wie von zetamy geschrieben, lautet

[mm]\bruch{x}{2}\wurzel{x^{2}+3}+\bruch{3}{2}*arsinh\left(\bruch{x}{\wurzel{3}}\right)[/mm]

Dies ist eine spezielle Stammfunktion für C=0.
Korrekt lautet nämlich die Stammfunktion:

[mm]\bruch{x}{2}\wurzel{x^{2}+3}+\bruch{3}{2}*arsinh\left(\bruch{x}{\wurzel{3}}\right)\blue{+C}[/mm]

Wie kommt man nun zu dieser Stammfunktion?

Wende auf den Integranden die Substitution

[mm]x=\wurzel{3}*\sinh\left(t\right) \Rightarrow dx = \wurzel{3}*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm]

an.


>  
> Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
>  
> Mit freundlichen Grüßen,
>  
> logix
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß
MathePower
Bezug
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