Aufgabenformulierung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:26 Do 23.06.2005 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Also, folgende Situation: ich bin in diesem Semester Tutor für eine Funktionentheorievorlesung und auf dem neuen Zettel ist eine Aufgabe, bei der ich der Meinung bin, dass sie so nicht richtig gestellt ist... allerdings finde ich es umgemein schwer, raten zu müssen, mit welcher Formulierung es funktioniert.
Mit anderen Worten: ich will keine Lösung, sondern nur meinen Tutanden sagen, wie es vermutlich richtig heißen muss - den Dozenten erreiche ich im Moment nämlich leider nicht.
Ok, hier die Original-Formulierung:
Let $g,h : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] be analytic functions which are both not constant. Then $f(z) = [mm] \frac{g(z)}{h(z)}$ [/mm] defines a meromorphic function, possibly with isolated zeros and poles. Assume $f$ has no poles on the positive real number line. Assume furthermore that there exist two numbers $0 < [mm] \lambda_1 [/mm] < 1$ and $0 < [mm] \lambda_2 [/mm] < 1$, such that for sufficiently small positive real numbers $x > 0$ we have $f(x) < [mm] x^{- \lambda_1}$ [/mm] and for sufficiently large $x$, we have $f(x) < [mm] x^{\lambda_2}$. [/mm] Let $0 [mm] \leq \varphi [/mm] < [mm] \frac{\pi}{2}$ [/mm] and assume that there are no poles of $f$ on the line given by $t [mm] e^{i \varphi}$, [/mm] where $0 < t < [mm] \infty$.
[/mm]
a) Show that [mm] $\int_0^\infty [/mm] f(t [mm] e^{i \varphi}) e^{i \varphi} \; [/mm] dx$ exists.
b) Show that for sufficiently small [mm] $\varphi$ [/mm] we have
[mm] $\lim_{\varphi \to 0} \int_0^\infty [/mm] f(t [mm] e^{i \varphi}) e^{i \varphi} \; [/mm] dx = [mm] \int_0^\infty [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx$
Mich macht z.B. stutzig, dass entweder Betragsstriche vergessen wurden oder aber angenommen wird, dass $f$ auf der reellen Achse reelle Werte annimmt... und auch sonst kommt mir einiges seltsam vor, z.b. dass in den Integralen, in denen $f$ von $t$ abhängt $dx$ und nicht $dt$ steht. Aber selbst wenn man das einsetzt, komme ich nicht wirklich auf einen grünen Zweig - sieht irgendwer, was gemeint sein könnte?
Danke im Voraus. 
Lars
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, aber ich möchte dir trotzdem mitteilen, dass auch ich die Aufgabenstellung so für falsch halt, die gleichen Bedenken wie du habe und die gleichen (ersten) Verbesserungen vornehmen würde, die jedoch immer noch nicht zu einer Lösung führen.
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