Aufgaben zur Vektorrechnung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wäre nett wen jemand mir sagt ob meine Rechnungen korrekt sind und wie man die Aufgaben ausrechnet, welche ich nicht schaffte.
Hallo, normalerweise habe ich mit Mathe ja nicht so meine Probleme aber seid ich Vektorrechnung habe hasse ich Mathe fast.
Alles was mit Geometrie, Raumdarstellung zu tun hat ist nicht so meine Welt, stehe technisches Zeichen auch 5. Irgendwie liegt mir das nicht, sonst macht mir kaum was Probleme in Mathe.
Schreiben bald ne Mathearbeit über Vektorrechnung und das tollste Abschlussarbeit enthält 50% Vektorrechnung
Das Problem ist, dass ich das ganze Thema nicht verstehe es ist verwirrend bis zum geht nicht mehr also wenn’s ne Seite gibt wo noch mal alles erklärt wird dann bitte posten, war schon auf frustfrei lernen aber wir in der Schule machen wohl irgendwas anderes
Ich habe schon bei google nach vernünftigen Übungsaufgaben gesucht die auch erklärt werden warum man jetzt das machen muss etc. aber hab nichts Vernünftiges gefunden
Unser Lehrer hat uns dutzende Zettel mit Übungsaufgaben gegeben aber kaum Zettel wo es erklärt wird wie man es macht.
Ich habe leider auch keinen Scanner wo ich eben all die Zettel einscannen könnte und Hochladen könnte.
Folgenden Übungszettel habe ich gemacht, war die Klassenarbeit des letzten Jahres
Übungszettel
Aufgabe 1:
Gegeben ist die Gerade g1 mit g1:x= (5/8/8) + l * (2/10/5)
A Beweise, dass der Punkt P (9/28/18) auf der Geraden liegt
Muss man dafür nicht P in x einsetzten
(9/28/18) = (5/8/8) + l * (2/10/5)
l = 2 => passt bei x, y, und z geht auf
teil b:
Untersuche die Lagebeziehung einer zweiten Geraden g2 zu g1 mit
G2:x= (2/3/4) + u * (6/30/5)
Muss dann nicht:
(2/10/5) = o * (6/30/5) => o = 3 geht bei x und y nicht aber z
daraus folgt die sind entweder windschief oder schneiden sich
nächste Überprüfung
p-q = k *u +l *v
( (5/8/8) – (2/3/4) ) = k * (2/10/5) + l * (6/30/5)
(3/5/4) = ….
3 = 2 k + 6 l
5 = 10 k + 30 l
4 = 5 k + 5 l * -6
-24 = -30 k -30 l
-19 = -20k
5 = 10k +30 l
K = 19/20
3 = 2 * 19/20 + 6 l l = 11/60
passt aber nicht bei Überprüfung daraus folgt g1 und g2 sind windschief oder?
Aufgabe 2
Die Gerade G3:x= (2/3) + l * (5/6) wird senkrecht von einer Geraden g4, die durch den Punkt P (12/18) verläuft, geschnitten.
a) Bestimme die Parameterform der Geraden g4
b) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S
c) Berechne den Abstand zwischen P und S
A: g4:x= (12/18) + l * (?/?)
Da die senkrecht geschnitten werden muss das Skalprodukt 0 ergeben
A * b = 0 (5/6) – (5/6) = 0
Daher g4:x= (12/18) + l * (5/6) oder?
B: weiß ich nicht
C: X-Wert von P und S addieren und durch 2 Teilen, genau wie den Y-Wert
Aufgabe 3:
Ein Quader besteht aus den Eckpunkten
A (2/2/9)
B (2/7/9)
C (-3/7/9)
D (-3/29)
E (2/2/2)
F (2/7/2)
G (-3/7/2)
H (-3/2/2)
a) Zeiche den Quader, auch wenn ich zeichen hasse, das kann ich
b) Bestimme die Funktionsgleichung der Ebene E1 in Parameterform die durch B,C,E und H aufgespannt wird
Punkt E nehme ich mal als AusgangsPunkt
D ist nicht genau mit E verbunden daher sind A und H bzw. (A-E) und (H-E) die Ortsvektoren
E1:x= (2/2/2) + r * (0/0/7) + s * (-5/0/0)
Ok bis hierhin war einfach, da ich diese Übung schon in der Schule gemacht hatte aber wie macht man die nächsten Sachen
c) Berechne die Funktionsgleichung der Schnittgeraden von E1 und E2
d) Gebe E2 in der Koordinatenform an
e) Bestimme die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu E1 liegt und durch den Punkt F verläuft
Andere Aufgaben (nicht mehr von der Klassenarbeit)
Aufgaben
1 Setzt man in E: x= (3/0/2) +r (2/1/7)+s (3/2/5) die angegeben Werte für r und s ein so erhält man einen Ortsvektor der zu einem Punkt P der Ebene E gehört. Bestimmen sie die Koordinaten von P
a) r=1 s = -3
muss man das einfach nur multiplizieren also
(3/0/2) + (2/1/7) + (-9/-6/-15) E = (-4/-5/-6)
dann wäre E ja P ein Punkt kann aber doch keine Ebene sein oder? Seht ihr alles ist so verwirrend
Aufgabe 3
Gegeben ist die Ebene X:x= (3/02) +r (2/1/7)+s (3/2/5)
a) liegen die Punkte A (8/3/4), B (1/1/0), C (4/0/11) in der Ebene E ?
b) bestimmen sie für p eine Zahl so, das der Punkt P in der Ebene E liegt
(1) P (4/1/p), (2) P (p/0/7) , (3) P (p/2/-2) , (4) P (0/p/p)
Aufgabe 7
Untersuchen sie ob die Punkte A,B,C,D in einer gemeinsamen Ebenen liegen
A (0/1/-1), B(2/3/5), C(-1/3/-1), D (2/2/2)
Poste nachher noch mehr, muss erstmal aber alles auf PC schreiben
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> wäre nett wen jemand mir sagt ob meine Rechnungen korrekt
> sind und wie man die Aufgaben ausrechnet, welche ich nicht
> schaffte.
Okay, gehen wir die Probleme an!
> Hallo, normalerweise habe ich mit Mathe ja nicht so meine
> Probleme aber seid ich Vektorrechnung habe hasse ich Mathe
> fast.
>
> Alles was mit Geometrie, Raumdarstellung zu tun hat ist
> nicht so meine Welt, stehe technisches Zeichen auch 5.
> Irgendwie liegt mir das nicht, sonst macht mir kaum was
> Probleme in Mathe.
>
> Schreiben bald ne Mathearbeit über Vektorrechnung und das
> tollste Abschlussarbeit enthält 50% Vektorrechnung
>
> Das Problem ist, dass ich das ganze Thema nicht verstehe es
> ist verwirrend bis zum geht nicht mehr also wenn’s ne
> Seite gibt wo noch mal alles erklärt wird dann bitte
> posten, war schon auf frustfrei lernen aber wir in der
> Schule machen wohl irgendwas anderes
Eine Internetseite, auf der der Sachverhalt gut erklärt ist, fällt mir im Augenblick nicht ein. Vielleicht hat dort jemand anderes Ideen. Ansonsten empfehle ich natürlich immer das Mathebuch und darin die im Unterreicht behandelten Themen. Oftmals enthalten die Mathebücher zahlreiche Beispiele, die auch durchgerechnet werden sowie zusätzliche Aufgaben zum selber rechnen. Falls Du beim Berechnen bestimmter Aufgaben Probleme hast, helfen wir Dir hier gerne gezielt weiter.
> (...)
>
> Übungszettel
>
Aufgabe 1 :
>
> Gegeben ist die Gerade [mm] $g_1$ [/mm] mit
> [mm] $g_1:x=\vektor{5 \\ 8 \\ 8}+l\cdot\vektor{2 \\ 10 \\ 5}$
[/mm]
>
>
> (A): Beweise, dass der Punkt [mm] $P=\vektor{9 \\ 28 \\ 18}$ [/mm] auf der Geraden [mm] $g_1$ [/mm] liegt.
> (B): Untersuche die Lagebeziehung einer zweiten Geraden [mm] $g_2$ [/mm] zu
> [mm] $g_1$ [/mm] mit
>
> [mm] $g2:x=\vektor{2 \\ 3 \\ 4}+u\cdot\vektor{6 \\ 30 \\ 5}$
[/mm]
>
Lösung : (Aufgabe 1)
zu (A):
> Muss man dafür nicht P in x einsetzten
Genau das muss man tun, d.h. man setzt die Gerade [mm] $g_1$ [/mm] gleich dem Punkt $P$. Als nächstes musst Du einen Wert $l$ bestimmen, der die Gleichung erfüllt. Falls Du einen (!!!) solchen Wert $l$ findest, so dass die Gleichung in allen 3 Koordinaten erfüllt ist, so liegt der Punkt auf der Geraden. Falls es einen solchen Wert $l$ nicht gibt, so befindet sich der Punkt $P$ nicht auf der Geraden.
>
> [mm] $\vektor{9 \\ 28 \\ 18}=\vektor{5 \\ 8 \\ 8}+l\cdot\vektor{2 \\ 10 \\ 5}$
[/mm]
>
> $l = 2$ => passt bei x, y, und z geht auf
Richtig!
zu (B):
Zunächst solltest Du überlegen, welche Situationen eintreten können.
[mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] sind gleich ( identisch )
[mm] $\bullet$ [/mm] sind zueinander parallel
[mm] $\bullet$ [/mm] besitzen einen Schnittpunkt
[mm] $\bullet$ [/mm] liegen zueinander windschief
Parallel:
> Muss dann nicht:
>
> [mm] $\vektor{2 \\ 10 \\ 5} [/mm] = [mm] o\cdot\vektor{6 \\ 30 \\ 5}$ [/mm] => $o=3$ geht bei x und y nicht aber z
Richtig! Daraus folgt, dass die Geraden [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] nicht parallel zueinander liegen (da ihre Richtungsvektoren ansonsten in dieselbe Richtung zeigen würden). Insbesondere sind sie damit auch nicht gleich (d.h. sie liegen nicht ineinander).
> daraus folgt die sind entweder windschief oder schneiden
> sich
Richtig!
Schnittpunkt:
> nächste Überprüfung
>
> p-q = k *u +l *v
>
> ( (5/8/8) – (2/3/4) ) = k * (2/10/5) + l * (6/30/5)
>
> (3/5/4) = ….
> 3 = 2 k + 6 l
> 5 = 10 k + 30 l
> 4 = 5 k + 5 l * -6
>
> -24 = -30 k -30 l
> -19 = -20k
> 5 = 10k +30 l
>
>
> K = 19/20
>
> 3 = 2 * 19/20 + 6 l l = 11/60
>
Zusammengefasst: Das Gleichungssystem ist nicht Lösbar (d.h. besitzt keine Lösung $(l,k)$). Damit besitzen die Geraden [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Hinweis: In der Arbeit/Klausur solltest Du diese Rechnung aber sauber zusammenschreiben, d.h. also nicht wie Du es hier getan hast (-> Unübersichtlich, aber richtig).
>
> passt aber nicht bei Überprüfung daraus folgt g1 und g2
> sind windschief oder?
Richtig!
>
Aufgabe 2 :
>
> Die Gerade [mm] $g_3:x=\vektor{2 \\ 3}+k\cdot\vektor{5 \\ 6}$ [/mm] wird senkrecht von einer
> Geraden [mm] $g_4$, [/mm] die durch den Punkt [mm] $P=\vektor{12 \\ 18}$ [/mm] verläuft,
> geschnitten.
>
> (A) Bestimme die Parameterform der Geraden [mm] $g_4$
[/mm]
> (B) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $S$
> (C) Berechne den Abstand zwischen $P$ und $S$
Lösung : (Aufgabe 2)
zu (A):
>
> A: g4:x= (12/18) + m * (?/?)
>
> Da die senkrecht geschnitten werden muss das Skalprodukt 0
> ergeben
>
> A * b = 0 (5/6) – (5/6) = 0
Idee richtig, Umsetzung falsch! Der Stützvektor (Aufpunkt) von [mm] $g_4$ [/mm] ist korrekt gewählt! Allerdings erklärst Du nicht, wie Du auf den Richtungsvektor von [mm] $g_4$ [/mm] gekommen bist und dort liegt auch Dein Fehler. Daher: Ich bezeichne den Vektor mit Deinen zwei Fragezeichen mit [mm] $b=\vektor{b_1 \\ b_2}$. [/mm] Da die Geraden [mm] $g_3$ [/mm] und [mm] $g_4$ [/mm] sich senkrecht (d.h. orthogonal) schneiden sollen, muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 sein, d.h.
[mm] $0\overset{!}{=}\vektor{5 \\ 6}\cdot\vektor{b_1 \\ b_2}=5b_1+6b_2$
[/mm]
Da wir nun eine Gleichung und zwei Unbekannte haben, dürfen wir eine der beiden Unbekannten [mm] $b_1$ [/mm] und [mm] $b_2$ [/mm] (egal welche von beiden) frei wählen. Ich setze [mm] $b_1=6$ [/mm] (um Brüche zu vermeiden) und erhalte aus der obigen Gleichung [mm] $b_2=-5$. [/mm] Daher erhalten wir
[mm] $g_4:x= \vektor{12 \\ 18}+m\cdot\vektor{6 \\ -5}$
[/mm]
und nicht
> Daher [mm] $g_4:x= \vektor{12 \\ 18}+m\cdot\vektor{5 \\ 6}$ [/mm] oder?
>
zu (B):
> weiß ich nicht
Die Idee, um einen Schnittpunkt zu bestimmen, ist es, die beiden Geraden [mm] $g_3$ [/mm] und [mm] $g_4$ [/mm] gleichzusetzen. Anschließend musst Du die Werte für $k$ und $m$ bestimmen, indem Du das Gleichungssystem löst. Den Schnittpunkt erhälst Du, indem Du den Wert von $k$ in die Geradengleichung [mm] $g_3$ [/mm] einsetzt. Zur Probe setze den Wert von $m$ in die Geradengleichung [mm] $g_4$ [/mm] ein. Die Punkte (Schnittpunkt) sollten natürlich in beiden Fällen dieselben sein, ansonsten hast Du Dich verrechnet.
zu (C):
> C: X-Wert von P und S addieren und durch 2 Teilen, genau
> wie den Y-Wert
>
Also Du hast den Punkt [mm] $P=\vektor{12 \\ 18}$ [/mm] und den Schnittpunkt [mm] $S=\vektor{S_1 \\ S_2}$ [/mm] (den musst Du noch in Teil (B) berechnen. Die Länge der Strecke von $P$ nach $S$ erhälst Du wie folgt: Subtrahiere diese zwei Punkte voneinander. Du erhälst irgendeinen Punkt $C$. Die Länge erhälst Du nun, indem Du $C$ mit sich selbst skalar multiplizierst und anschließend die Wurzel ziehst. Also:
[mm] $\left|P-S\right|=\left|\vektor{12 \\ 18}-\vektor{S_1 \\ S_2}\right|=\left|\vektor{12-S_1 \\ 18-S_2}\right|=\sqrt{\vektor{12-S_1 \\ 18-S_2}\cdot\vektor{12-S_1 \\ 18-S_2}}=\sqrt{(12-S_1)^2+(18-S_2)^2}$
[/mm]
Aufgabe 3 :
> Ein Quader besteht aus den Eckpunkten
>
> A (2/2/9)
> B (2/7/9)
> C (-3/7/9)
> D (-3/29)
> E (2/2/2)
> F (2/7/2)
> G (-3/7/2)
> H (-3/2/2)
>
> (A): zeichne den Quader.
> (B): Bestimme die Funktionsgleichung der Ebene $E1$ in Parameterform die durch $B,C,E$ und $H$ aufgespannt wird
> (C): Berechne die Funktionsgleichung der Schnittgeraden von $E1$ und $E2$
> (D): Gebe $E2$ in der Koordinatenform an
> (E): Bestimme die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu $E1$ liegt und durch den Punkt $F$ verläuft
Lösung : (Aufgabe 3)
zu (A):
> auch wenn ich zeichen hasse, das kann ich
Okay.
zu (B):
> Punkt E nehme ich mal als AusgangsPunkt
>
> D ist nicht genau mit E verbunden daher sind A und H bzw.
> (A-E) und (H-E) die Ortsvektoren
>
> [mm] $E_1:x=\vektor{2 \\ 2 \\ 2}+r\cdot\vektor{0 \\ 0 \\ 7}+s\cdot\vektor{-5 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Richtig! Allgemein:
[mm] $E_1:x=E+r\cdot(A-E)+s\cdot(H-E)$
[/mm]
> Ok bis hierhin war einfach, da ich diese Übung schon in
> der Schule gemacht hatte aber wie macht man die nächsten
> Sachen
>
**********************************************************
Die folgenden Aufgaben bitte ich jemanden anderen sich anzusehen.
zu (C):
zu (D):
zu (E):
>
> Andere Aufgaben (nicht mehr von der Klassenarbeit)
>
> Aufgaben
>
> 1 Setzt man in E: x= (3/0/2) +r (2/1/7)+s (3/2/5) die
> angegeben Werte für r und s ein so erhält man einen
> Ortsvektor der zu einem Punkt P der Ebene E gehört.
> Bestimmen sie die Koordinaten von P
>
> a) r=1 s = -3
>
> muss man das einfach nur multiplizieren also
> (3/0/2) + (2/1/7) + (-9/-6/-15) E =
> (-4/-5/-6)
>
> dann wäre E ja P ein Punkt kann aber doch keine Ebene sein
> oder? Seht ihr alles ist so verwirrend
>
>
>
> Aufgabe 3
>
> Gegeben ist die Ebene X:x= (3/02) +r (2/1/7)+s (3/2/5)
>
> a) liegen die Punkte A (8/3/4), B (1/1/0), C (4/0/11) in
> der Ebene E ?
> b) bestimmen sie für p eine Zahl so, das der Punkt P in
> der Ebene E liegt
>
> (1) P (4/1/p), (2) P (p/0/7) , (3) P (p/2/-2) , (4) P
> (0/p/p)
>
> Aufgabe 7
>
> Untersuchen sie ob die Punkte A,B,C,D in einer gemeinsamen
> Ebenen liegen
> A (0/1/-1), B(2/3/5), C(-1/3/-1), D (2/2/2)
>
> Poste nachher noch mehr, muss erstmal aber alles auf PC
> schreiben
>
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Hey,
> Aufgabe 3:
> Ein Quader besteht aus den Eckpunkten
>
> A (2/2/9)
> B (2/7/9)
> C (-3/7/9)
> D (-3/29)
> E (2/2/2)
> F (2/7/2)
> G (-3/7/2)
> H (-3/2/2)
>
> E1:x= (2/2/2) + r * (0/0/7) + s * (-5/0/0)
>
> Ok bis hierhin war einfach, da ich diese Übung schon in
> der Schule gemacht hatte aber wie macht man die nächsten
> Sachen
>
> c) Berechne die Funktionsgleichung der Schnittgeraden von
> E1 und E2
wenn sich 2 sachen schneiden sollen, müssen sie ja an den entsprechenden stellen GLEICH sein, also muss da E1 und E2 GLEICHGESETZT werden..
> d) Gebe E2 in der Koordinatenform an
guck mal hier: http://de.sevenload.com/sendungen/Nachhilfe-2-0/folgen/dThpOlF-Parameterform-in-Koordinatenform
oder schau nochmal in deinem buch nach, v´wie das geht..
> e) Bestimme die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu
> E1 liegt und durch den Punkt F verläuft
senkrecht zu E1 bedeutet, dass du den Normalenvektor (die Vektoren) der Ebene suchst. Und einer dieser Vektoren (es gibt ja mehrere, die senkrecht auf der ebene stehen) geht durch F:
[Dateianhang nicht öffentlich]
also:
1.) normalenvektor(en) suchen
2.) mit F gleichsetzen
>
>
>
> Andere Aufgaben (nicht mehr von der Klassenarbeit)
>
> Aufgaben
>
> 1 Setzt man in E: x= (3/0/2) +r (2/1/7)+s (3/2/5) die
> angegeben Werte für r und s ein so erhält man einen
> Ortsvektor der zu einem Punkt P der Ebene E gehört.
> Bestimmen sie die Koordinaten von P
>
> a) r=1 s = -3
>
> muss man das einfach nur multiplizieren also
> (3/0/2) + (2/1/7) + (-9/-6/-15) E =
> (-4/-5/-6)
jap, stimmt
> dann wäre E ja P ein Punkt kann aber doch keine Ebene sein
> oder? Seht ihr alles ist so verwirrend
nein nein, nicht mehr E!! du hast ja für r und s was eingesetzt und dadurch einen Punkt der ebene gewählt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Aufgabe 3
>
> Gegeben ist die Ebene X:x= (3/02) +r (2/1/7)+s (3/2/5)
>
> a) liegen die Punkte A (8/3/4), B (1/1/0), C (4/0/11) in
> der Ebene E ?
hier musst du die Punkte mit der Ebene(nformel) gleichsetzen und nach r und s auflösen.. wenn was rauskommt, ist der punkt auf der ebene..
> b) bestimmen sie für p eine Zahl so, das der Punkt P in
> der Ebene E liegt
>
> (1) P (4/1/p), (2) P (p/0/7) , (3) P (p/2/-2) , (4) P
> (0/p/p)
auch hier musst du wieder mit gleichsetzen (und auflösen) arbeiten.
> Aufgabe 7
>
> Untersuchen sie ob die Punkte A,B,C,D in einer gemeinsamen
> Ebenen liegen
> A (0/1/-1), B(2/3/5), C(-1/3/-1), D (2/2/2)
ok, hier hast du 4 punkte abgegeben, also machst du aus drei punkten (ist wurscht welche) eine ebene und guckst dann, ob auch der letzte punkt auf der ebene liegt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
OKI??
LG
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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