Aufgaben zur GAUßSCHEN ... < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Begründen sie die folgenden Regeln, die für die Gaußsche Integralfunktion gelten. Fertigen sie jeweils eine Skizze an:
a) Das Zeichen gibts hier unten iwie net... Von phi dieses Große Zeichen, also für die Stammfunktion.. und dann Großphi(z) = 1- Großphi(-z)
b) Großphi(z)-Großphi(z)02*Großphi(z)-1
Sei Phi die Gaußsche Dichtefunktion mit phi(x)= [mm] 1/\wurzel{2\pi}*e^{x^2/2}
[/mm]
a) Begründen sie: Der Graph von phi ist symmetrisch zur y-Achse.
b) Bestimmen sie den Defintionsbereich von phi
c) Bestimmen sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion phi
d) Begründen Sie mithilfe der Ableitungen: x=0 ist die einzige Maximalstelle von phi. (+Begründung ohne Ableitung) |
Hallööö.. Kann mir vllt jemand bei der Beantwortung der Fragen helfen...
Ich komm mit dem Thema momentan nicht so klar und mein Lehrer meinte, dass ich durch diese Aufgaben vllt besser damit klar komme.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!
LG, Melli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 So 08.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Sei Phi die Gaußsche Dichtefunktion mit phi(x)=
> [mm]1/\wurzel{2\pi}*e^{x^2/2}[/mm]
> a) Begründen sie: Der Graph von phi ist symmetrisch zur
> y-Achse.
Du musst zeigen, dass f(−x) = f(x). Gilt das, hast du gezeigt, dass
phi zur y-Achse Symmetrisch ist.
> b) Bestimmen sie den Defintionsbereich von phi
Naja, welche Werte kann x annehmen? [mm] x\in\IR [/mm] würde ich sagen.
> c) Bestimmen sie die erste und die zweite Ableitung der
> Funktion phi
Ich kenne die Dichtefunktion jetzt nicht, und weiß nicht, ob du
[mm] 1/\wurzel{2\pi}\cdot{}e^{x^2/2}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}\cdot{}e^{x^2/2}} [/mm] meinst.
Aber die ersten beiden Ableitungen dürftest du hinbekommen. Falls nicht,
poste doch mal deinen Weg und zeige, was unklar ist.
> d) Begründen Sie mithilfe der Ableitungen: x=0 ist die
> einzige Maximalstelle von phi. (+Begründung ohne
> Ableitung)
Begründung mit Ableitung.
Setze f'(x)=0. Du bekommst x=0 heraus, setzt x=0 in die 2. Ableitung und dann müsste [mm] f''(0)\not=0 [/mm] sein. Dann weißt du je nachdem, ob f''(0)<0 oder f''(0)>0, ist an der Stelle x=0 ein Hoch- bzw. Tiefpunkt.
Begründe ohne Ableitung:
Das kommt darauf an, ob du
[mm] 1/\wurzel{2\pi}\cdot{}e^{x^2/2}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}\cdot{}e^{x^2/2}} [/mm] meinst.
Ich würde in beiden Fällen ein klein wenig anders argumentieren.
MfG
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:10 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi Melli!
Das "Großphi" gibts hier schon ^^
[mm] \Phi [/mm] = \ Phi und [mm] \phi [/mm] = \ phi (jeweils ohne das leerzeichen zwischen dem backslash und dem "phi")
Zu deiner ersten Aufgabe:
a) [mm] \Phi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z}{e^{-\frac{1}{2}t^2}}dz
[/mm]
Es gilt [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2}t^2}}dz=1
[/mm]
Also ist [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2}t^2}}dz-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-z}{e^{-\frac{1}{2}t^2}}dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-z}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2}t^2}}dz
[/mm]
Da [mm] \Phi [/mm] symmetrisch zur y-achse ist, folgt [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-z}^{\infty}{e^{-\frac{1}{2}t^2}}dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z}{e^{-\frac{1}{2}t^2}}dz
[/mm]
Und damit folgt die Behauptung. (Am besten überlegst du dir den letzten Schritt anhand einer Skizze, aber das ist ja sowieso Teil der Aufgabe...)
Teil b) versteh ich leider nicht so ganz... Vielleicht schreibst du das noch mal schöner auf....
Lieben Gruß,
Fulla
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erstmal: da fehlt ein minuszeichen vor dem exponenten x quadrat: also richtiger:
phi(x) = 1 durch wurzel pi mal e hoch MINUS x quadrat halbe !!
sonst:
zu a) phi ist symmetrisch zur x-Achse, weil x quadrat = (-x) quadrat ist.
zu b) Definitionsbereich ist die ganze relle Achse (bzw. auch sogar die ganze komplexe Ebene !)
zu c) Mit der Kettenregel: innere Ableitung, d.h. Ableitung von x quadrat halbe ist = x, äußere Ableitung ist die Funktion selbst (e-Funktion), also erste Ableitung von phi ist = x mal phi(x), zweite Ableitung daher (mit Produktregel): phi(x) + x quadrat mal phi(x).
zu d) erste Ableitung <0 für x<0, also phi monoton wachsend, erste Ableitung >0 für x>0, also phi monoton fallend, folglich ist x=0 die einzige Stelle eine Maximums.
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jetzt habe ich selber minuszeichen vergessen!!!
hier die korrigierte version meiner mail !
erstmal: da fehlt ein minuszeichen vor dem exponenten x quadrat: also richtiger:
phi(x) = 1 durch wurzel pi mal e hoch MINUS x quadrat halbe !!
sonst:
zu a) phi ist symmetrisch zur x-Achse, weil x quadrat = (-x) quadrat ist.
zu b) Definitionsbereich ist die ganze relle Achse (bzw. auch sogar die ganze komplexe Ebene !)
zu c) Mit der Kettenregel: innere Ableitung, d.h. Ableitung von x quadrat halbe ist = -x, äußere Ableitung ist die Funktion selbst (e-Funktion), also erste Ableitung von phi ist = -x mal phi(x), zweite Ableitung daher (mit Produktregel): -phi(x) + x quadrat mal phi(x).
zu d) erste Ableitung >0 für x<0, also phi monoton wachsend, erste Ableitung <0 für x>0, also phi monoton fallend, folglich ist x=0 die einzige Stelle eine Maximums.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Fulla |
hi mathematrix!
wie kann denn eine (reelle, eindimensionale) funktion symmetrisch zur x-achse sein?
der ansatz [mm] $x^2=(-x)^2$ [/mm] gilt ja für alle rellen zahlen, das ist keine besondere eigenschaft...
barsch hat schon richtig argumentiert mit $f(-x)=f(x)$ [mm] \Rightarrow [/mm] symmetrie zur y-achse.
(und so schwierig ist der formeleditor hier wirklich nicht zu bedienen. man kann es dann einfach viel besser lesen und verstehen...)
Lieben Gruß,
Fulla
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