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Forum "Uni-Sonstiges" - Aufgabe zur Kombinatorik
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Aufgabe zur Kombinatorik: fage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Sa 28.11.2009
Autor: mayy

Aufgabe
Vereinfachen sie den Ausdruck [mm] (x^{5}-y^{5}) [/mm] / (x-y)

wie nuss ich vorgehen? habe leider keine idee wie ich vereinfachen kann
        
Bezug
Aufgabe zur Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Sa 28.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Vereinfachen sie den Ausdruck [mm](x^{5}-y^{5})[/mm] / (x-y)
>  wie muss ich vorgehen? habe leider keine idee wie ich
> vereinfachen kann


Hallo mayy,

du kannst Polynomdivision durchführen. Wirklich
"einfacher" wird der Term dadurch allerdings nicht.

LG     Al-Chw.



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Aufgabe zur Kombinatorik: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Sa 28.11.2009
Autor: mayy

komm ich mit dem binomischen lehrsatz irgendwie weiter?


Bezug
                        
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Aufgabe zur Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:27 So 29.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> komm ich mit dem binomischen lehrsatz irgendwie weiter?


Hallo mayy,

wir haben es hier mit einer Art "Verallgemeinerung"
der 3. binomischen Formel zu tun:

      $\ [mm] a^2-b^2\ [/mm] =\ (a-b)*(a+b)$

      $\ [mm] a^3-b^3\ [/mm] =\ [mm] (a-b)*(a^2+a*b+b^2)$ [/mm]

      $\ [mm] a^4-b^4\ [/mm] =\ [mm] (a-b)*(a^3+a^2*b+a*b^2+b^3)$ [/mm]

      $\ [mm] a^5-b^5\ [/mm] =\ [mm] (a-b)*(a^4+a^3*b+a^2*b^2+a*b^3+b^4)$ [/mm]

      etc.

LG     Al-Chw.




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Aufgabe zur Kombinatorik: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 So 29.11.2009
Autor: mayy

[mm] (x^{5}-y^{5})/(x-y) [/mm]
= (x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)/(x-y)
= (x+y)(x-y)(x+y)(x-y)
= (x+y)(x+y)(x-y)(x-y)
= [mm] (x^{2}+2xy+y^{2})(x^{2}-2xy+y^{2}) [/mm]
= [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 2x^{3}y [/mm] + [mm] x^{2}y^{2} [/mm] + [mm] 2x^{3} [/mm] y - [mm] 4x^{2}y^{2} [/mm] + [mm] 2xy^{3} [/mm] + [mm] x^{2}y^{2} [/mm] - [mm] 2xy^{3} [/mm] + [mm] y^{4} [/mm]

= [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 4x^{2} y^{2} [/mm] + [mm] x^{2}y^{2} [/mm] + [mm] x^{2}y^{2} [/mm] + [mm] y^{4} [/mm]

=  [mm] x^{4} [/mm] - 2 [mm] x^{2}y^{2} [/mm] + [mm] y^{4} [/mm]

ist die lösung dann so richtig?

vielen dank für die hilfe, war echt super :)
Bezug
                                        
Bezug
Aufgabe zur Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 So 29.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm](x^{5}-y^{5})/(x-y)[/mm]
>  = (x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)/(x-y)     [haee]   [kopfschuettel]
>  = (x+y)(x-y)(x+y)(x-y)
>  = (x+y)(x+y)(x-y)(x-y)
>  = [mm](x^{2}+2xy+y^{2})(x^{2}-2xy+y^{2})[/mm]
>  = [mm]x^{4}[/mm] - [mm]2x^{3}y[/mm] + [mm]x^{2}y^{2}[/mm] + [mm]2x^{3}[/mm] y - [mm]4x^{2}y^{2}[/mm] +
> [mm]2xy^{3}[/mm] + [mm]x^{2}y^{2}[/mm] - [mm]2xy^{3}[/mm] + [mm]y^{4}[/mm]
>  
> = [mm]x^{4}[/mm] - [mm]4x^{2} y^{2}[/mm] + [mm]x^{2}y^{2}[/mm] + [mm]x^{2}y^{2}[/mm] + [mm]y^{4}[/mm]
>  
> =  [mm]x^{4}[/mm] - 2 [mm]x^{2}y^{2}[/mm] + [mm]y^{4}[/mm]     [notok]
>  
> ist die lösung dann so richtig?
>  
> vielen dank für die hilfe, war echt super :)


Hallo mayy,

ich hatte doch die Lösung eigentlich schon angegeben:

$ \ [mm] a^5-b^5\ [/mm] =\ [mm] (a-b)\cdot{}(a^4+a^3\cdot{}b+a^2\cdot{}b^2+a\cdot{}b^3+b^4) [/mm] $

oder anders notiert:

$ [mm] \frac{ x^5-y^5}{x-y}\ [/mm] =\ [mm] x^4+x^3\cdot{}y+x^2\cdot{}y^2+x\cdot{}y^3+y^4 [/mm] $


LG    Al-Chw.

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Bezug
Aufgabe zur Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 So 29.11.2009
Autor: mayy

alles klar, vielen dank :o)
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