Aufgabe zum Identitätssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:17 Di 06.11.2007 | | Autor: | tb1804 |
| Aufgabe | a) Es seien G [mm] \in \IC [/mm] ein gebiet und f,g [mm] \in [/mm] O(G) holomorphe Funktionen auf G, so dass f [mm] \cdot [/mm] g= 0 ist. Zeigen Sie, dass f= 0 oder g=0 ist.
b) Gilt die Aussage von a) über beliebigen offenen Mengen [mm] G\subset\IC? [/mm] |
Hallo zusammen.
Oben seht Ihr eine Aufgabe, die ich in meiner Examensklausur über die Analysis (III) bearbeiten musste. im Folgenden liefere ich Euch meine Lösung, und zwar Wort für Wort so, wie sie in der Klausur steht. Ich möchte Euch bitten, aggressiv nach Fehlern zu suchen, da mir für die Bearbeitung der Aufgabe erheblich viele Punkte abgezogen wurden, was ich persönlich als äußerst ungerecht empfinde.
Vielen Dank im Voraus für Eure Kommentare, Tipps, und Hilfen.
Zu (a).
Nach Vorlesung Analysis 3 gilt, dass das Produkt zweier auf G holomorpher Funktionen holomorph ist.
Es gilt nach Voraussetzung, dass f [mm] \cdot [/mm] g=0. Somit gilt, dass das ganze Bild von G unter (f [mm] \cdot [/mm] g) gleich 0 ist. [mm] \Rightarrow [/mm] (f [mm] \cdot [/mm] g)(G)=0
Somit liegt ganz G in der Nullstellenmenge von f [mm] \cdot [/mm] g, d.h. [mm] N_0(f\cdot [/mm] g) [mm] \supseteq [/mm] G.
[mm] \Rightarrow N_0(f)\bigcup N_0(g)\supseteq [/mm] G.
Angenommen, f wäre nicht identisch Null: [mm] f\not= [/mm] 0.
Die Nullstellen einer holomorphen Funktion [mm] f\not= [/mm] 0 sind isoliert (Identitätssatz), d.h., dass in einer Umgebung [mm] K_{\varepsilon}(z_0) [/mm] von einer Nullstelle [mm] z_0 \in [/mm] G von f keine weiteren Nullstellen von f liegen. [mm] [K_{\varepsilon}(z_0)=\{z\in G| |z-z_0|<\varepsilon\}]
[/mm]
Da jedoch gilt, dass f [mm] \cdot [/mm] g=0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G, gilt für alle [mm] z\in K_{\varepsilon}(z_0)\backslash \{z_0\}, [/mm] dass [mm] g(z_0)=0.
[/mm]
Somit besitzt die Nullstellenmenge von g, [mm] N_0(g) [/mm] einen Häufungspunkt [mm] z_0 [/mm] (aufgrund des Wegzusammenhangs des Gebietes G).
Mit dem Identitätssatz folgt somit, dass g=0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G.
(Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Identitätssatzes sind offensichtlich erfüllt, da g [mm] \in [/mm] O(G) uns G ein Gebiet nach Voraussetzung.)
Gezeigt ist also: Ist f [mm] \not= [/mm] 0, so folgt g=0.
Der Beweis für "aus g [mm] \not= [/mm] 0 folgt f=0" verläuft gänzlich analog unter Vertauschung der Rollen von f und g.
Zu (b).
Über beliebigen offenen Mengen [mm] G\subset \IC [/mm] gilt die Aussage nicht, da für beliebige offene MEngen die Wegzusammenhangskomponente fehlt, und somit keine Aussage über die Existenz eines Häufungspunktes der Nullstellenmenge getroffen werden kann.
Gegenbeispiel:
Es seien [mm] G_1, G_2 [/mm] offene Mengen mit [mm] G_1\bigcap G_2=\emptyset. [/mm] Es gelte f,g seien holomorph auf [mm] G=G_1\bigcup G_2. [/mm] G ist als Vereinigung zweier offener Mengen offen.
Es gelte weiter: [mm] f(G_1)=0, f(G_2)=1 [/mm]
und [mm] g(G_1)=1, g(G_2)=0.
[/mm]
Dann gilt (f [mm] \cdot [/mm] g)(z)=0 [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G.
Jedoch ist weder f, noch g die Nullabbildung.
|
|
| |
|
> a) Es seien G [mm]\in \IC[/mm] ein gebiet und f,g [mm]\in[/mm] O(G)
> holomorphe Funktionen auf G, so dass f [mm]\cdot[/mm] g= 0 ist.
> Zeigen Sie, dass f= 0 oder g=0 ist.
> b) Gilt die Aussage von a) über beliebigen offenen Mengen
> [mm]G\subset\IC?[/mm]
> Hallo zusammen.
> Oben seht Ihr eine Aufgabe, die ich in meiner
> Examensklausur über die Analysis (III) bearbeiten musste.
> im Folgenden liefere ich Euch meine Lösung, und zwar Wort
> für Wort so, wie sie in der Klausur steht. Ich möchte Euch
> bitten, aggressiv nach Fehlern zu suchen, da mir für die
> Bearbeitung der Aufgabe erheblich viele Punkte abgezogen
> wurden, was ich persönlich als äußerst ungerecht empfinde.
> Vielen Dank im Voraus für Eure Kommentare, Tipps, und
> Hilfen.
>
> Zu (a).
Die folgenden acht Zeilen sind für den Beweis nicht relevant:
> Nach Vorlesung Analysis 3 gilt, dass das Produkt zweier
> auf G holomorpher Funktionen holomorph ist.
> Es gilt nach Voraussetzung, dass f [mm]\cdot[/mm] g=0. Somit gilt,
> dass das ganze Bild von G unter (f [mm]\cdot[/mm] g) gleich 0 ist.
> [mm]\Rightarrow[/mm] (f [mm]\cdot[/mm] g)(G)=0
> Somit liegt ganz G in der Nullstellenmenge von f [mm]\cdot[/mm] g,
> d.h. [mm] $N_0(f\cdot [/mm] g) [mm] \supseteq [/mm] G$.
> [mm] $\Rightarrow N_0(f)\bigcup N_0(g)\supseteq [/mm] G$.
Ende der irrelevanten Zeilen.
Nur ein Kommentar zum Stil: eventuell wäre es einfacher zu schreiben: "Ist $f=0$, so gilt die Behauptung. Ist aber [mm] $f\neq [/mm] 0$, so ..." Bei dieser Variante kannst Du Dir das für meinen Geschmack etwas diffuser wirkende (aber natürlich korrekte) nachgeordnete Argument, dass man die Rollen von $f$ und $g$ tauschen könne, sparen.
> Angenommen, f wäre nicht identisch Null: [mm]f\not=[/mm] 0.
> Die Nullstellen einer holomorphen Funktion [mm]f\not=[/mm] 0 sind
> isoliert (Identitätssatz), d.h., dass in einer Umgebung
> [mm]K_{\varepsilon}(z_0)[/mm] von einer Nullstelle [mm]z_0 \in[/mm] G von f
> keine weiteren Nullstellen von f liegen.
> [mm][K_{\varepsilon}(z_0)=\{z\in G| |z-z_0|<\varepsilon\}][/mm]
> Da
> jedoch gilt, dass $f [mm] \cdot [/mm] g=0, [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G$, gilt für
> alle [mm] $z\in K_{\varepsilon}(z_0)\backslash \{z_0\},$ [/mm] dass [mm]\red{g(z_0)=0}.[/mm]
Wohl ein Schreibfehler, denn ausgerechnet für diese Stelle, [mm] $z_0$, [/mm] folgt, wegen Deiner Annahme, dass [mm] $f(z_0)=0$, [/mm] aus [mm] $(f\cdot g)(z_0)=0$ [/mm] nicht, dass [mm] $\red{g(z_0)=0}$ [/mm] ist. Du hast wohl schreiben wollen (oder hättest schreiben sollen): [mm] $\blue{g(z)=0}$.
[/mm]
> Somit besitzt die Nullstellenmenge von g, [mm]N_0(g)[/mm] einen
> Häufungspunkt [mm]z_0[/mm] (aufgrund des Wegzusammenhangs des Gebietes G).
Das versteh ich nun nicht. Wesentlich ist für diese Eigenschaft von [mm] $z_0$, [/mm] Häufungspunkt der Nullstellenmenge von $g$ zu sein, nicht der Wegzusammenhang des Gebietes $G$, sondern, dass $g$ in der ganzen punktierten Kreisscheibe [mm] $K_{\varepsilon}(z_0)\backslash \{z_0\}$ [/mm] identisch $0$ ist.
> Mit dem Identitätssatz folgt somit, dass $g=0, [mm] \forall z\in [/mm] G$.
Wenn schon vom Wegzusammenhang von $G$ sprechen: dann hier, bei der Ausdehnung des identisch $0$ seins von $g$ auf ganz $G$.
> (Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des
> Identitätssatzes sind offensichtlich erfüllt, da g [mm]\in O(G) [/mm]
> und G ein Gebiet nach Voraussetzung.)
Wenn es tatsächlich nötig ist, dem Leser diese an sich ja bekannten Details an dieser Stelle nochmals aufzulisten, dann gehört leider auch dazu, dass jener Häufungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] der Nullstellenmenge von $g$ ebenfalls in $G$ liegt. Denn falls [mm] $z_0$ [/mm] nur ein Randpunkt von $G$ wäre, könnte man $g=0$ nicht folgern.
> Gezeigt ist also: Ist f [mm]\not=[/mm] 0, so folgt g=0.
> Der Beweis für "aus g [mm]\not=[/mm] 0 folgt f=0" verläuft gänzlich
> analog unter Vertauschung der Rollen von f und g.
>
> Zu (b).
> Über beliebigen offenen Mengen [mm]G\subset \IC[/mm] gilt die
> Aussage nicht, da für beliebige offene MEngen die
> Wegzusammenhangskomponente fehlt, und somit keine Aussage
> über die Existenz eines Häufungspunktes der
> Nullstellenmenge getroffen werden kann.
> Gegenbeispiel:
> Es seien [mm]G_1, G_2[/mm] offene Mengen mit [mm]G_1\bigcap G_2=\emptyset.[/mm]
Wenn man ein Gegenbeispiel hinschreiben will, ist es vielleicht besser, ganz konkret zu werden und nicht eine Annahme (hier "seien [mm] "$G_1, G_2$ [/mm] ...") als Grundlage zu verwenden.
> Es gelte f,g seien holomorph auf [mm]G=G_1\bigcup G_2.[/mm]
Ich denke, hier zäunst Du das Pferd vom Schwanz auf: Du musst doch eher zuerst $f$ und $g$ definieren und dann, gestützt auf diese Definition, zeigen (sofern dies in dem von Dir angezielten trivialen Fall überhaupt nötig sein sollte), dass die so definierten Funktionen die Voraussetzungen der zu widerlegenden Aussage erfüllen.
Wenn Du schreibst, "Es gelte ..." oder "es seien ...", führst Du eine Annahme ein, statt, wie angekündigt, direkt ein Gegenbeispiel anzugeben / zu definieren.
> G ist
> als Vereinigung zweier offener Mengen offen.
> Es gelte weiter: [mm]f(G_1)=0, f(G_2)=1[/mm]
> und [mm]g(G_1)=1, g(G_2)=0.[/mm]
> Dann gilt [mm] $(f\cdot [/mm] g)(z)=0, [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G$.
> Jedoch ist weder f, noch g die Nullabbildung.
Da erhebliche Gefahr besteht, dass ich beim Suchen von Fehlern (oder auch nur Mängeln) nicht "aggressiv" (aka. intelligent?) genug war, markiere ich Deine Frage von mir als nur teilweise beanwortet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:15 Di 06.11.2007 | | Autor: | tb1804 |
> a) Es seien G $ [mm] \in \IC [/mm] $ ein gebiet und f,g $ [mm] \in [/mm] $ O(G)
> holomorphe Funktionen auf G, so dass f $ [mm] \cdot [/mm] $ g= 0 ist.
> Zeigen Sie, dass f= 0 oder g=0 ist.
> b) Gilt die Aussage von a) über beliebigen offenen Mengen
> $ [mm] G\subset\IC? [/mm] $
> Hallo zusammen.
> Oben seht Ihr eine Aufgabe, die ich in meiner
> Examensklausur über die Analysis (III) bearbeiten musste.
> im Folgenden liefere ich Euch meine Lösung, und zwar Wort
> für Wort so, wie sie in der Klausur steht. Ich möchte Euch
> bitten, aggressiv nach Fehlern zu suchen, da mir für die
> Bearbeitung der Aufgabe erheblich viele Punkte abgezogen
> wurden, was ich persönlich als äußerst ungerecht empfinde.
> Vielen Dank im Voraus für Eure Kommentare, Tipps, und
> Hilfen.
>
> Zu (a).
Die folgenden acht Zeilen sind für den Beweis nicht relevant:
> Nach Vorlesung Analysis 3 gilt, dass das Produkt zweier
> auf G holomorpher Funktionen holomorph ist.
> Es gilt nach Voraussetzung, dass f $ [mm] \cdot [/mm] $ g=0. Somit gilt,
> dass das ganze Bild von G unter (f $ [mm] \cdot [/mm] $ g) gleich 0 ist.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ (f $ [mm] \cdot [/mm] $ g)(G)=0
> Somit liegt ganz G in der Nullstellenmenge von f $ [mm] \cdot [/mm] $ g,
> d.h. $ [mm] N_0(f\cdot [/mm] g) [mm] \supseteq [/mm] G $.
> $ [mm] \Rightarrow N_0(f)\bigcup N_0(g)\supseteq [/mm] G $.
Ende der irrelevanten Zeilen.
--- Ja, das stimmt natürlich. Aber zumindest ist davon nichts falsch. War auch eigentlich eher für meine Orientierung gedacht. ---
Nur ein Kommentar zum Stil: eventuell wäre es einfacher zu schreiben: "Ist f=0, so gilt die Behauptung. Ist aber $ [mm] f\neq [/mm] 0 $, so ..." Bei dieser Variante kannst Du Dir das für meinen Geschmack etwas diffuser wirkende (aber natürlich korrekte) nachgeordnete Argument, dass man die Rollen von f und g tauschen könne, sparen.
--- Guter Tipp. Machts sicher weniger "behäbig". ---
> Angenommen, f wäre nicht identisch Null: $ [mm] f\not= [/mm] $ 0.
> Die Nullstellen einer holomorphen Funktion $ [mm] f\not= [/mm] $ 0 sind
> isoliert (Identitätssatz), d.h., dass in einer Umgebung
> $ [mm] K_{\varepsilon}(z_0) [/mm] $ von einer Nullstelle $ [mm] z_0 \in [/mm] $ G von f
> keine weiteren Nullstellen von f liegen.
> $ [mm] [K_{\varepsilon}(z_0)=\{z\in G| |z-z_0|<\varepsilon\}] [/mm] $
> Da
> jedoch gilt, dass $ f [mm] \cdot [/mm] g=0, [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G $, gilt für
> alle $ [mm] z\in K_{\varepsilon}(z_0)\backslash \{z_0\}, [/mm] $ dass $ [mm] \red{g(z_0)=0}. [/mm] $
Wohl ein Schreibfehler, denn ausgerechnet für diese Stelle, $ [mm] z_0 [/mm] $, folgt, wegen Deiner Annahme, dass $ [mm] f(z_0)=0 [/mm] $, aus $ [mm] (f\cdot g)(z_0)=0 [/mm] $ nicht, dass $ [mm] \red{g(z_0)=0} [/mm] $ ist. Du hast wohl schreiben wollen (oder hättest schreiben sollen): $ [mm] \blue{g(z)=0} [/mm] $.
--- Ja, sorry. hab mich da "verhauen"... ---
> Somit besitzt die Nullstellenmenge von g, $ [mm] N_0(g) [/mm] $ einen
> Häufungspunkt $ [mm] z_0 [/mm] $ (aufgrund des Wegzusammenhangs des Gebietes G).
Das versteh ich nun nicht. Wesentlich ist für diese Eigenschaft von $ [mm] z_0 [/mm] $, Häufungspunkt der Nullstellenmenge von g zu sein, nicht der Wegzusammenhang des Gebietes G, sondern, dass g in der ganzen punktierten Kreisscheibe $ [mm] K_{\varepsilon}(z_0)\backslash \{z_0\} [/mm] $ identisch 0 ist.
--- Das wiederum verstehe ich nicht. Ich möchte doch ausnutzen, dass g auf der gelochten Kreisscheibe einen Häufungspunkt besitzt. Und dieser Häufungspunkt existiert durch nur auf einer zusammenhängenden Menge. Also wegen des Zusammenhangs von G. Wäre G nicht zusammenhängend, oder speziell die besagte Kreisscheibe, so könnte man die Existen des Häufungspunktes [mm] z_0 [/mm] doch gar nicht folgern. Frage mich, wo ich hier hake... ---
> Mit dem Identitätssatz folgt somit, dass $ g=0, [mm] \forall z\in [/mm] G $.
Wenn schon vom Wegzusammenhang von G sprechen: dann hier, bei der Ausdehnung des identisch 0 seins von g auf ganz G.
--- Ok, aber woraus folgt dann oben die Existenz des Häufungspunktes??? ---
> (Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des
> Identitätssatzes sind offensichtlich erfüllt, da g $ [mm] \in [/mm] O(G) $
> und G ein Gebiet nach Voraussetzung.)
Wenn es tatsächlich nötig ist, dem Leser diese an sich ja bekannten Details an dieser Stelle nochmals aufzulisten, dann gehört leider auch dazu, dass jener Häufungspunkt $ [mm] z_0 [/mm] $ der Nullstellenmenge von g ebenfalls in G liegt. Denn falls $ [mm] z_0 [/mm] $ nur ein Randpunkt von G wäre, könnte man g=0 nicht folgern.
--- OK! ---
> Gezeigt ist also: Ist f $ [mm] \not= [/mm] $ 0, so folgt g=0.
> Der Beweis für "aus g $ [mm] \not= [/mm] $ 0 folgt f=0" verläuft gänzlich
> analog unter Vertauschung der Rollen von f und g.
>
> Zu (b).
> Über beliebigen offenen Mengen $ [mm] G\subset \IC [/mm] $ gilt die
> Aussage nicht, da für beliebige offene MEngen die
> Wegzusammenhangskomponente fehlt, und somit keine Aussage
> über die Existenz eines Häufungspunktes der
> Nullstellenmenge getroffen werden kann.
> Gegenbeispiel:
> Es seien $ [mm] G_1, G_2 [/mm] $ offene Mengen mit $ [mm] G_1\bigcap G_2=\emptyset. [/mm] $
Wenn man ein Gegenbeispiel hinschreiben will, ist es vielleicht besser, ganz konkret zu werden und nicht eine Annahme (hier "seien "$ [mm] G_1, G_2 [/mm] $ ...") als Grundlage zu verwenden.
--- Joar, wobei ich es nicht weiter schlimm finde. Ist ja in diesem Sinne keine Annahme, sondern ich schaffe die geeigneten Voraussetzungen für das Gegenbeispiel, oder? ---
> Es gelte f,g seien holomorph auf $ [mm] G=G_1\bigcup G_2. [/mm] $
Ich denke, hier zäunst Du das Pferd vom Schwanz auf: Du musst doch eher zuerst f und g definieren und dann, gestützt auf diese Definition, zeigen (sofern dies in dem von Dir angezielten trivialen Fall überhaupt nötig sein sollte), dass die so definierten Funktionen die Voraussetzungen der zu widerlegenden Aussage erfüllen.
Wenn Du schreibst, "Es gelte ..." oder "es seien ...", führst Du eine Annahme ein, statt, wie angekündigt, direkt ein Gegenbeispiel anzugeben / zu definieren.
> G ist
> als Vereinigung zweier offener Mengen offen.
> Es gelte weiter: $ [mm] f(G_1)=0, f(G_2)=1 [/mm] $
> und $ [mm] g(G_1)=1, g(G_2)=0. [/mm] $
> Dann gilt $ [mm] (f\cdot [/mm] g)(z)=0, [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] G $.
> Jedoch ist weder f, noch g die Nullabbildung.
--- Aber mein Gegenbeispiel stimmt doch, oder??? ---
Da erhebliche Gefahr besteht, dass ich beim Suchen von Fehlern (oder auch nur Mängeln) nicht "aggressiv" (aka. intelligent?) genug war, markiere ich Deine Frage von mir als nur teilweise beanwortet.
--- "Agressiv" sollte zur "Kleinlichkeit" auffordern. Du hast bei weitem mehr bemöngelt als mein Prof.
Fass doch mal interessehalber kurz zusammen, wo hier wirklich etwas falsch ist. Und noch anders gefragt: angenommen für diese Aufgabe gibt es 20 Punkte. Wie würdest Du meine Bearbeitung bewerten? Möchte nur mal eine neutrale Meinung dazu einholen... ---
---Vielen Dank erstmal für die Mühe, die Du Dir soweit gemacht hast!!!! ---
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
