Aufgabe zu Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi
Könnt ihr mir sagen, wie ich Folgendes beweisen / zeigen kann?
| Aufgabe | Es seien $f,g:D [mm] \to\IR$ [/mm] in [mm] $0\in [/mm] D$ differenzierbar. Es sei $f(0)=g(0)$ und [mm] $g'(0)\not=0$. [/mm] Es sei [mm] $(h_n)_{n_{\in\IN}}\subset D\setminus\{0\}$ [/mm] eine Nullfolge.
Zeigen Sie:
1) Es gibt ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] sodass [mm] $g(h_{n})\not=0\ \forall n\ge [/mm] N$.
2) Es gilt [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(h_{n})}{g(h_{n})}=\bruch{f'(0)}{g'(0)}$. [/mm] |
Ich weiß leider nicht, wie ich all dies beweisen soll, kann mir einer von euch helfen und mir zeigen wie das gehen soll?
Wäre echt super, denn ich weiß wirklich nicht wie es gehen soll.
Vielen, vielen Dank im Vorraus für eure Hilfe,
Spider
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Di 29.01.2008 | | Autor: | wauwau |
Teil 1. beweist du, indem, wenn du das gegenteil annimmst
also
[mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] g(h_{n})=0
[/mm]
dann existiert also eine Nullteilfolge [mm] h_{n_{k}} [/mm] und daraus würde g(0)=0 und g'(0)=0 folgen, was im Widerspruch zur Voraussetzung ist.
Teil 2 beweist du indem du auf der rechten Seit
f'(0) durch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(h_{n})-f(0)}{h_{n}} [/mm] setzt, die linke Seite raushebst und entsprechend umformst...
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Habe jetzt folgendes gerechnet:
Teil 1)
Annahme: [mm] \forall N\in \IN g(h_{n})=0
[/mm]
Dann existiert eine Nullteilfolge [mm] h_{n_{k}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g(0)=0 und [mm] g'(h_{n})=g'(0)=0
[/mm]
Dies ist ein Widerspruch zur Vorrausetzung der Aufgabe.
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung aus Aufgabe Teil 1) stimmt
Nun, mir erschließt sich ja der Sinn der ganzen Rechnung, allerdings ist es nicht zu wenig um die Behauptung zu beweisen? Kommt mir (klingt blöd) irgendwie zu simpel vor, allerdings ist das ja meistens so *lol*.
Teil 2)
f'(0)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(h_{n})-f(0)}{h_{n}}
[/mm]
Daraus folg durch einsetzen:
[mm] \bruch{f'(0)}{g'(0)}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(h_{n})-f(0)}{h_{n}}}{\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{g(h_{n})-g(0)}{h_{n}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(f(h_{n})-f(0))h_{n}}{h_{n}(g(h_{n})-g(0))}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(h_{n})}{g(h_{n})}
[/mm]
Dies ist das, was in der Aufgabenstellung gefordert wurde.
Kann ich die beiden [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] im Zähler/ Nenner, wie ich es gemacht habe zusammen ziehen und vor die Klammer stellen? Hab ich nun den zweiten Teil der Aufgabenstellung richtig bewiesen?? Möchte einfach sicher gehen, das ich es ach richtig verstanden und angewendet habe.
Wäre super wenn du /ihr mir das obenre kontrollieren könntet und mir vielleicht sagen könntet was man besser machen kann
Vielen lieben Dank im Vorraus
Spider
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 03.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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