Aufgabe #95 (SpaMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:18 So 18.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man zeige, dass in der arithmetischen Folge $3,7,11,15,...$ unendlich viele Primzahlen vorkommen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno.
> Man zeige, dass in der arithmetischen Folge [mm]3,7,11,15,...[/mm]
> unendlich viele Primzahlen vorkommen.
Nimmt man an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p mit [mm]p \equiv 3 \pmod{4}[/mm], so kann man auch das Produkt all dieser Primzahlen bilden:
Sei [mm]P=\prod \limits_{p\ prim,\ p \equiv 3 \pmod{4}}{p}[/mm].
Ist [mm]P \equiv 3 \pmod{4}[/mm] so lässt P+4 ebenfalls den Rest 3 modulo 4 und ist durch keine der Primzahlen d. Produkts P teilbar. P+4 muss allerdings mindestens einen Primteiler t mit [mm]t \equiv 3 \pmod{4}[/mm] haben im Widerspruch dazu, dass das Produkt alle Primzahlen der Form 4n+3 enthält.
Ist [mm]P \equiv 1 \pmod{4}[/mm] so geht man analog vor mit P+2.
MfG
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 18.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jan!
Ich konnte keinen Fehler entdecken! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man kann es alternativ auch mit dem Produkt [mm] $4\prod_{p\in \IP\atop p\not= 3} [/mm] p+3$ machen; dabei sei [mm] $\IP$ [/mm] die Menge der Primzahlen [mm] $\equiv 3\pmod{4}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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