Aufgabe #73 (IrMO),(ZT) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 01:32 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Zeige: für [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist
[mm] $\summe k^3 \equiv 0\mod [/mm] {n}$,
wobei die Summe über allen zu $n$ relativ primen Zahlen [mm] $k\in\{1,2,...,n-1\}$ [/mm] läuft.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno.
> [mm]\summe k^3 \equiv 0\mod {n}[/mm],
>
> wobei die Summe über allen zu [mm]n[/mm] relativ primen Zahlen
> [mm]k\in\{1,2,...,n-1\}[/mm] läuft.
Ist k zu n teilerfremd, so auch n-k. Im Fall n-k=k sind wegen [mm]k=\frac{n}{2}[/mm] k und n nicht teilerfremd (ausser für n=2).
Es folgt, dass [mm]\sum{k^3}=\sum \limits_{k<\frac{n}{2}}{k^3+(n-k)^3} \equiv \sum \limits_{k<\frac{n}{2}}{k^3+(-k)^3} \equiv{} 0 \mod {n}[/mm]
MfG
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jan!
Das ist natürlich richtig :)
Liebe Grüße,
Hanno
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