Aufgabe 6 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mo 12.05.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von folgenden Funktionen !
a) $f(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^3$
[/mm]
b) $f(x) = [mm] x^4 [/mm] + x$
c) $f(x) = x + [mm] \bruch{1}{2}\ [/mm] $ für $ x > 0 $
d) $f(x) = [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{5}{4}\ [/mm] x - 2 $
e) $f(x) = [mm] \bruch{1}{6}\ x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 6x + 1 $
f) $f(x) = [mm] \bruch{3}{4}\ x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] $
g) $f(x) = [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - 4x $
h) $f(x) = x(2 - ln(x)) $
i) $f(x) = [mm] e^x(x [/mm] - 4) $
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Hallo Tyskie!
Meine Lösungsvorschläge zu dieser Aufgabe sind:
a)
[mm] f'(x)=5x^4+3x^2
[/mm]
[mm] x^2*(5x^2+3) [/mm] =0
[mm] x_1_,_2=0
[/mm]
Ich kann hier keine Monotonie feststellen.
b)
[mm] f'(x)=4x^3+1
[/mm]
[mm] 4x^3+1=0
[/mm]
x=-0,6299
x>-0,6299 steigend
x<-0,6299 fallend
c)
f'(x)=1
Steigend?
d) [mm] f'(x)=x^2+2x-1,25
[/mm]
[mm] x^2+2x-2,5=0
[/mm]
[mm] x_1_,_2= \bruch{-2+-\wurzel{4-4*1*(-1,25)} }{2} [/mm]
[mm] x_1=-2,5
[/mm]
[mm] x_2=0,5
[/mm]
-2,5>x>0,5 steigend
-2,5<x<0,5 fallend
e)
[mm] f'(x)=0,5x^2-4x+6
[/mm]
[mm] 0,5x^2-4x+6=0
[/mm]
[mm] x_1_,_2= \bruch{+4+-\wurzel{16-4*0,5*6} }{1} [/mm]
[mm] x_1=6
[/mm]
[mm] x_2=2
[/mm]
2>x>6 steigend
2<x<6 fallend
f)
[mm] f'(x)=3x^3+3x^2-6x
[/mm]
[mm] 3x^3+3x^2-6x=0
[/mm]
[mm] x(3x^2+3x-6)=0
[/mm]
[mm] x_1=0
[/mm]
Mit Mitternachtsformel:
[mm] x_2=-2
[/mm]
[mm] x_3=1
[/mm]
0<x<1
x<-2 fallend
0>x>-2 und x>1 steigend
g)
[mm] f'(x)=-3x^2+4x-4
[/mm]
Da beim Ausrechnen mit der Mitternachtsformel der Ausdruck unter der Wurzel nicht def. ist, kann ich über die Monotonie nichts sagen, oder?
h)
f'(x)=1-lnx
x=e
x>e fallend
x<e steigend
i)
[mm] f'(x)=e^x*(x-3)
[/mm]
x>3 steigend
x<3 fallend
Stimmen meine Überlegungen?
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Di 27.05.2008 | | Autor: | argl |
a) $ f(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] $
zu a)
$ [mm] f'(x)=5x^4+3x^2 [/mm] $
$ [mm] x^2\cdot{}(5x^2+3) [/mm] $ =0
$ [mm] x_1_,_2=0 [/mm] $
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich kann hier keine Monotonie feststellen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Denkfehler. Mit Sicherheit kannst du bei dieser Funktion eine Monotonie feststellen. 
b) $ f(x) = [mm] x^4 [/mm] + x $
zu b)
$ [mm] f'(x)=4x^3+1 [/mm] $
[mm] $x_1=-0,6299$
[/mm]
x>-0,6299 steigend
x<-0,6299 fallend
c) $ f(x) = x + [mm] \bruch{1}{2}\ [/mm] $ für $ x > 0 $
zu c)
f'(x)=1
Steigend?
Was für eine Art von Funktion ist dass denn ? Da kannst du dir das Ableiten auch sparen.
d) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{3}\ x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{5}{4}\ [/mm] x - 2 $
zu d)
$ [mm] f'(x)=x^2+2x-1,25 [/mm] $
$ [mm] x^2+2x-2,5=0 [/mm] $
$ [mm] x_1_,_2= \bruch{-2+-\wurzel{4-4\cdot{}1\cdot{}(-1,25)} }{2} [/mm] $
$ [mm] x_1=-2,5 [/mm] $
$ [mm] x_2=0,5 [/mm] $
-2,5>x>0,5 steigend
-2,5<x<0,5 fallend
Ausführlicher (und meiner Meinung nach nachvollziehbarer) kannst du es aber so angeben:
$ [mm] -\infty \le [/mm] x < [mm] -\bruch{10}{4}\ [/mm] $
streng monoton steigend
$ [mm] -\bruch{10}{4} [/mm] < x < [mm] \bruch{1}{2}\ [/mm] $
streng monoton fallend
$ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < x [mm] \le \infty [/mm] $
streng monoton steigend
e) $ f(x) = [mm] \bruch{1}{6}\ x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 6x + 1 $
zu e)
$ [mm] f'(x)=0,5x^2-4x+6 [/mm] $
$ [mm] 0,5x^2-4x+6=0 [/mm] $
$ [mm] x_1_,_2= \bruch{+4+-\wurzel{16-4\cdot{}0,5\cdot{}6} }{1} [/mm] $
$ [mm] x_1=6 [/mm] $
$ [mm] x_2=2 [/mm] $
2>x>6 steigend
2<x<6 fallend
oder ...
[mm] $-\infty \le [/mm] x<2 $
streng monoton steigend
$2<x<6$
streng monoton fallend
$ 6< x [mm] \le \infty [/mm] $
streng monoton steigend
f) $ f(x) = [mm] \bruch{3}{4}\ x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] $
zu f)
$ [mm] f'(x)=3x^3+3x^2-6x [/mm] $
$ [mm] 3x^3+3x^2-6x=0 [/mm] $
$ [mm] x(3x^2+3x-6)=0 [/mm] $
[mm] $x_1=0$
[/mm]
[mm] $x_2=-2$
[/mm]
[mm] $x_3=1$
[/mm]
0<x<1 (steigend meinst du wahrscheinlich)
x<-2 fallend
Dass ist aber nicht vollständig. Es müsste lauten:
$ [mm] -\infty \le [/mm] x < -2 [mm] \wedge [/mm] 0 < x < 1 $
streng monoton fallend
$ -2 < x < 0 [mm] \wedge [/mm] 1 < x [mm] \le \infty [/mm] $
streng monoton steigend
g) $ f(x) = [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - 4x $
zu g)
$ [mm] f'(x)=-3x^2+4x-4 [/mm] $
Da beim Ausrechnen mit der Mitternachtsformel der Ausdruck unter der Wurzel nicht def. ist, kann ich über die Monotonie nichts sagen, oder?
Selber Denkfehler wie bei Aufgabenteil a). Nur, weil die Funktion ihr Monotonieverhalten an keiner Stelle ändert, heisst dass nicht, dass sie keines besitzt, im Gegenteil.
Die Lösung wäre:
$ [mm] -\infty \le [/mm] x [mm] \le \infty [/mm] $
streng monoton fallend
i) $ f(x) = [mm] e^x(x [/mm] - 4) $
zu i)
$ [mm] f'(x)=e^x\cdot{}(x-3) [/mm] $
x>3 steigend
x<3 fallend
Hm, naja sieht doch ganz gut aus.
Grüsse, Alex.
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Hallo Alex und vielen Dank für deine Verbesserung!
Ich finde deine Schreibweise bei der Monotonie viel übersichtlicher und werde sie in Zukunft verwenden.
Bei a) wäre die Kurve überall monoton steigend, oder?
Also [mm] -\infty\le x\le\infty
[/mm]
Viele Grüße
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mi 28.05.2008 | | Autor: | argl |
a) wäre die Kurve überall monoton steigend, oder?
Also $ [mm] -\infty\le x\le\infty [/mm] $
richtig.
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