Aufgabe #32 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:52 So 27.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man bestimme alle positiven, reellen Lösungen des Gleichungssystemes
$x-y=7$
[mm] $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}=7$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
kleiner Umformungen ergeben:
I: [mm]7=x-y=(\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{y})(\wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xy}+\wurzel[3]{y^2})=(\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{y})*7[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm]\wurzel[3]{x}=1+\wurzel[3]{y} \Rightarrow \wurzel[3]{x^2}=1+2\wurzel[3]{y}+\wurzel[3]{y^2}[/mm]
II:[mm]\wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xy}+\wurzel[3]{y^2}=7[/mm]
[mm]\Rightarrow 1+2\wurzel[3]{y}+\wurzel[3]{y^2}+(1+\wurzel[3]{y})\wurzel[3]{y}+\wurzel[3]{y^2}=7[/mm]
[mm]\gdw \wurzel[3]{y^2}+\wurzel[3]{y}=2[/mm]
[mm]\gdw \wurzel[3]{y}=-\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}=-2\vee 1[/mm]
[mm]\gdw y=-8\vee 1[/mm]
Eingesetzt in I ergibt: [mm] x=-1\vee 8 [/mm]
und damit die Lösungspaare: (x,y)=(-1,-8);(8,1)
Probe in II bestätigt das Ergebniss.
Das einzige positive reelle Lösungspaar ist somit (x,y)=(8,1)
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mi 30.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Samuel
Klasse. Ich habe die Aufgabe genau gleich gelöst.
mfG Moudi
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