Aufgabe 3 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist [mm] y'+\bruch{y}{x}-\bruch{1}{2}y^3=0 [/mm] x [mm] \in \IR^+
[/mm]
Lösen Sie mit dem Ansatz [mm] z(x)=[y(x)]^q [/mm] mit einer geeigneten reellen Zahl q.
Hinweis: Wählen sie den Wer von q derart, dass Sie eine lineare DGL in Funktion z erhalten. |
[mm] y'+\bruch{y}{x}-\bruch{1}{2}y^3=0
[/mm]
[mm] z(x)=[y(x)]^q
[/mm]
[mm] z=y^q
[/mm]
[mm] y=z^{\bruch{1}{q}}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{q}*z^{\bruch{1}{q}-1}*z'
[/mm]
dann setzte ich ein:
und bekomme letzt endlich:
[mm] \bruch{1}{q}*\bruch{1}{z}*z'+\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2}*z^{\bruch{1}{q}}^2
[/mm]
Wenn ich jetzt q=-1 setztes, dann kommt folgendes herraus:
[mm] -\bruch{z'}{z}+\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2*z^2}=0 [/mm] |*-z
[mm] z'-\bruch{z}{x}-\bruch{1}{2*z}=0
[/mm]
dann ist doch z'=-y'
also [mm] z=\bruch{1}{y} [/mm]
=>
[mm] -y'-\bruch{1}{y*x}-\bruch{y}{2*z}=0
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht mehr weiter, oder habe ich das falsche q gewählt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist [mm]y'+\bruch{y}{x}-\bruch{1}{2}y^3=0[/mm] x [mm]\in \IR^+[/mm]
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> Lösen Sie mit dem Ansatz [mm]z(x)=[y(x)]^q[/mm] mit einer
> geeigneten reellen Zahl q.
>
> Hinweis: Wählen sie den Wer von q derart, dass Sie eine
> lineare DGL in Funktion z erhalten.
> [mm]y'+\bruch{y}{x}-\bruch{1}{2}y^3=0[/mm]
>
> [mm]z(x)=[y(x)]^q[/mm]
>
> [mm]z=y^q[/mm]
>
> [mm]y=z^{\bruch{1}{q}}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{1}{q}*z^{\bruch{1}{q}-1}*z'[/mm]
>
> dann setzte ich ein:
>
> und bekomme letzt endlich:
>
> [mm]\bruch{1}{q}*\bruch{1}{z}*z'+\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2}*z^{\bruch{1}{q}}^2[/mm]
>
> Wenn ich jetzt q=-1 setztes, dann kommt folgendes herraus:
>
> [mm]-\bruch{z'}{z}+\bruch{1}{x}-\bruch{1}{2*z^2}=0[/mm] |*-z
>
> [mm]z'-\bruch{z}{x}-\bruch{1}{2*z}=0[/mm]
>
> dann ist doch z'=-y'
>
> also [mm]z=\bruch{1}{y}[/mm]
>
> =>
> [mm]-y'-\bruch{1}{y*x}-\bruch{y}{2*z}=0[/mm]
>
> Und jetzt komme ich nicht mehr weiter, oder habe ich das
> falsche q gewählt?
Ja, wähle q=-2.
http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Differentialgleichung
FRED
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