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Guten Mittag,
wenn ich eine Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen soll kann ich doch schauen, ob der Differenzenquotient an der betreffeneden Stelle einen Grenzwert hat.
Bsp: f(x) = x*|x|
an der Stelle x=0
ist der grenzwert 0 --> differenzierbar
stimmt das so?
danke sehr!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du musst an den Stellen, wo es heikel wird, hier also $x=0$ gucken, ob der Grenzwert 1) beidseitig existiert und 2) gleich ist. Denn wenn man sich zB die Funktion $|x|$ anschaut, dann existiert zwar auch hier der Grenzwert des Differenzen-Quotienten, der ist allerdings unterschiedlich, ob man sich von links oder von rechts nähert.
Ich nehme an, dass du das auch alles schon getan hast, aber man muss damit dann schon argumentieren. Am einfachsten gehts, wenn man sich dann die Funktion [mm] $x\cdot|x|$ [/mm] für [mm] $x\ge0$ [/mm] und für $x<0$ definiert.
LG
Kroni
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Hat Betrag von x nicht den Wert 0 an der Stelle 0?
ich hab eigentlich nur x * |x| / x angeschaut, x rausgekürzt und dann steht nur noch |x| da, und wenn ich da 0 einsetze erhalte ich doch 0?!
tut mir leid, dass ich das noch nicht ganz überblicke...
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir meine Antwort an !
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
@ Kroni : man muß keine Fallunterscheidung vornehmen
Für x [mm] \not= [/mm] 0:
[mm] $\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \bruch{x|x|}{x} [/mm] = |x| [mm] \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to [/mm] 0$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
in dem Fall muss man vlt. keine Fallunterscheidung machen, aber wenn ich mir zb nur $|x|$ ansehe, braucht man doch so etwas wie "was ist, wenn x größer oder kleiner Null ist"-Unterscheidung, um zu sehen, was der Grenzwert rechts und links von der 0 macht.
In dem Fall von [mm] $\frac{x|x|}{x}$ [/mm] ist natürlich der direkte Weg schöner.
LG
Kroni
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okay, danke.
für x--> 0 darf ich x rauskürzen, weil das ja heißt, dass x nicht 0 wird, sondern nur dagegen strebt, richtig?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
genrell darfst du eigentlich immer wenn dort so etwas steht wie [mm] $\frac{x}{x}$ [/mm] kürzen. Der Unterschied zwischen der 1-Funktion und [mm] $\frac{x}{x}$ [/mm] ist allerdings, dass man in deiner [mm] $\frac{x}{x}$-Funktion [/mm] die 0 nicht definiert ist, d.h. man hat am Punkt $(0,0)$ eine Definitionslücke. Genauso geht es mit der Funktion [mm] $\frac{x^2}{x}$. [/mm] Die schaut eigentlich genauso aus wie $x$, ist es aber nicht ganz, weil man auch hier die 0 nicht einsetzten darf, und dann dort eine Definitonslücke hat (die aber hebbar ist).
LG
Kroni
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bei x²/x darf ich durch x kürzen, weil x gar nicht 0 sein kann, weil die funktion da nicht definiert wäre?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> bei x²/x darf ich durch x kürzen, weil x gar nicht 0 sein
> kann, weil die funktion da nicht definiert wäre?
Ja, x²/x = x für x [mm] \not=0
[/mm]
Unterscheide zwischen den Funktionen
$f(x) = [mm] \bruch{x^2}{x}$ [/mm] und $g(x) =x$
f ist auf [mm] \IR [/mm] \ {0} def. , g ist auf ganz [mm] \IR [/mm] def. und es ist $f(x) =g(x)$ für x [mm] \not=0
[/mm]
FRED
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wie könnte ich jetzt entscheiden ob f(x) an der stelle 0 diff'bar ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> wie könnte ich jetzt entscheiden ob f(x) an der stelle 0
> diff'bar ist?
Welches f meinst Du ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Meine obige Funktion f ist in 0 nicht def. , also stellt sich die Frage nach der Differenzierbarkeit in 0 überhaupt nicht !
Definiert man zusätzlich noch f(0):= 0 , so ist f(x) = x in jedem x [mm] \in \IR [/mm] und damit ist f in 0 differenzierbar und f'(0) = 1.
Du könntest auch setzen: f(0) := 17. Dann ist aber f in 0 nicht stetig, somit ist f in 0 nicht differenzierbar.
FRED
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