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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Fr 03.11.2006 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Seien a1, . . . , an nicht negative reelle Zahlen. Man beweise für
a := [mm] \bruch{a_{1}+...+a_{n}}{n}
[/mm]
die Abschätzung
[mm] a_{1}*...*a_{n} \le a^{n} [/mm] |
Huhu!
Für n=2 habe ich die obige Aufgabe bereits bewiesen. Das wollte ich als Induktionsanfang nehmen und dann im Induktionsschluss
[mm] a_{1}*...*a_{n}*a_{n+1} \le a^{n} [/mm] * [mm] a_{n+1}
[/mm]
den Ausdruck hinter dem [mm] \le [/mm] so umformen, daß ich am Ende
[mm] (\bruch{a_{1}+...+a_{n+1}}{n+1})^{n+1}
[/mm]
herausbekomme. Aber irgendwie erreiche ich das nicht?!
Gruß
Iris
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Hallo IrisL,
> Seien a1, . . . , an nicht negative reelle Zahlen. Man
> beweise für
> a := [mm]\bruch{a_{1}+...+a_{n}}{n}[/mm]
>
> die Abschätzung
> [mm]a_{1}*...*a_{n} \le a^{n}[/mm]
> Huhu!
>
> Für n=2 habe ich die obige Aufgabe bereits bewiesen. Das
> wollte ich als Induktionsanfang nehmen und dann im
> Induktionsschluss
>
> [mm]a_{1}*...*a_{n}*a_{n+1} \le a^{n}[/mm] * [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> den Ausdruck hinter dem [mm]\le[/mm] so umformen, daß ich am Ende
>
> [mm](\bruch{a_{1}+...+a_{n+1}}{n+1})^{n+1}[/mm]
>
> herausbekomme. Aber irgendwie erreiche ich das nicht?!
Und dieser Ausdruck ist [mm] $=\left(\bruch{na+a_{n+1}}{n+1}\right)^{n+1}$. [/mm] Der Ausdruck in der Klammer ist aber [mm] $=\bruch{(n+1)a-a+a_{n+1}}{n+1} =a+\bruch{a_{n+1}-a}{n+1}$. [/mm] Insgesamt soll also die Ungleichung
[mm] $aa_{n+1} \le \left(a+\bruch{a_{n+1}-a}{n+1}\right)^{n+1}$ [/mm] herauskommen. Für den Fall $a=0$ nicht schwierig  . Für $a>0$ versuch mal, [mm] $\left)1+\bruch{(a_{n+1}/a)-1}{n+1}\right)^{n+1}$ [/mm] mit der Bernoullischen Ungleichung abzuschätzen.
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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