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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Hikari |
| Aufgabe | Gleichungen,in denen Exponenten >2 vorkommen,lassen sich ebenfalls auf quadratische Gleichungen zurückführen.Löse nach einem passenden Verfahren und big die Lösungsmenge an.
[mm] (1)x^3-7x^2+15x-9=0
[/mm]
(2) 1/2 [mm] x^4+12x^2 [/mm] -25/2 =0 |
Bei nummer 1 habe ich als erstes x ausgeklammert,damit ich das habe:
[mm] x(x^2-7x+15)-9=0
[/mm]
aber wie soll ich jetzt vorgehen?ich kann doch hier keine quadratische ergänzung durchführen oder?und mit dem satz von vieta komm ich auch nicht weiter..
bei nummer 2 bin ich so weit:
1/2 [mm] x^4+12x^2-25/2=0 [/mm] :1/2 wurzel2
[mm] x^2 [/mm] +wurzel24 -5=0
jetzt hab ich die quadratische ergänzung gewählt +11
[mm] (x+wurzel6)^2=11
[/mm]
x=wurzel11 -wurzel6 x=-wurzel11 -wurzel 6
aber in der probe passt es einfach nicht.Könnte mir jemand helfen?
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey!!
> Gleichungen,in denen Exponenten >2 vorkommen,lassen sich
> ebenfalls auf quadratische Gleichungen zurückführen.Löse
> nach einem passenden Verfahren und big die Lösungsmenge
> an.
> [mm](1)x^3-7x^2+15x-9=0[/mm]
> (2) 1/2 [mm]x^4+12x^2[/mm] -25/2 =0
> Bei nummer 1 habe ich als erstes x ausgeklammert,damit ich
> das habe:
> [mm]x(x^2-7x+15)-9=0[/mm]
x ausklammern ist prinzipiell eine gute Idee, allerdings funktioniert es nur, wenn du keine Zahl ohne x hast. Hier stört aber leider die -9. Der einzige Weg, der hier zum Ziel führt ist eine Polynomdivison. Dazu musst du als erstes eine Nullstelle raten. Man erkennt schnell, dass [mm] x_0=1 [/mm] die Gleichung löst. Nun kannst du deine komplette Gleichung durch [mm] (x\red{-}1) [/mm] teilen, anschließend hast du nur noch eine quadratische Gleichung.
> aber wie soll ich jetzt vorgehen?ich kann doch hier keine
> quadratische ergänzung durchführen oder?und mit dem satz
> von vieta komm ich auch nicht weiter..
>
> bei nummer 2 bin ich so weit:
> 1/2 [mm]x^4+12x^2-25/2=0[/mm] :1/2 wurzel2
> [mm]x^2[/mm] +wurzel24 -5=0
>
Du kannst leider nicht Summandenweise die Wurzel ziehen, denn [mm] \wurzel{9}+\wurzel{16}\not=\wurzel{25}.
[/mm]
Substituiere hier [mm] z:=x^2. [/mm]
Damit folgt: [mm] 1/2z^2+12z-25/2=0
[/mm]
Diese kannst du dann ganz normal lösen. Bedenke allerdings, dass [mm] z=x^2, [/mm] also musst du am Ende noch die Wurzel ziehen, denn du willst ja die Ergebnisse (in der Regel 4) für x und nicht für z wissen.
> jetzt hab ich die quadratische ergänzung gewählt +11
>
> [mm](x+wurzel6)^2=11[/mm]
> x=wurzel11 -wurzel6 x=-wurzel11 -wurzel 6
>
> aber in der probe passt es einfach nicht.Könnte mir jemand
> helfen?
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß Patrick
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:51 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Hikari |
das ich nicht sumandenweise die wurzel ziehen kann ist mir bewusst geworden aber der rest leider nicht...wir hatten noch nie ein z in einer gleichung und die polynomdivision kommt erst in der 11.klasse vor und durch kurzes überschlagen im internet habe ich es auch nicht verstanden..
Gibt es nicht auch noch einen einfacheren lösungsweg?ich denke nciht,dass unser lehrer das von uns verlangt..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo Hikari.
Was habt ihr denn schon in der Schule gemacht?
Zu (2) fällt mir auch nichts anderes ein als der Trick mit dem z.
Zu (1) da kann man nur bedingt zu etwas sagen. Ich weiß ja nicht, was du alles kannst, was ihr gemacht habt etc.
Aber der einfachste Weg mit wenig Wissen wäre (für mich persönlich)
1. Du zeichnest den Graphen (Einfach mal für x Werte einsetzen, von x=-5, x=-4,...,x=3, x=,4 x=5) und erhälst dann die dazugehörigen Y-Werte. Dann siehst du, dass deine Gleichung die Lösungen x=1 und x=3 hat. Ferner siehst du dann noch etwas anderes, nämlich dass bei x=3 die Funktion nicht von den positiven Y-Werten in die negativen übergehen, sondern dass die Funktion dort positiv bleibt (also überhalb der X-Achse bleibt und sie bei x=3 BERÜHRT)
Wenn du dir nur einen ganz kleinen Ausschnitt neben dem x=3 anguckst, erkennst du mit vielem guten Willen eine Art Parabel, die doch dort den Scheitelpunkt hat (die Mathematiker hier im Forum werden mich für diese Formulierung vermutlich erschlagen, aber wenn man es ganz grob veranschaulicht, sollte das in Ordnung sein)
Jetzt ist die Frage, wie groß dein Wissen ist. Weißt du, was bei einem Ausdruck [mm] (x+5)^2 [/mm] passiert? Das ist eine Parabel, die bei x=-5 ihren Scheitelpunkt (Minimum,Extremum,... oder wie ihr das genannt habt) hat
Grob Anschaulich kannst du also sagen [mm] (x-3)^2 [/mm] beschreibt einen kleinen Ausschnitt des Graphens bei der Stelle x=3.
Worauf ich mit dem Gelabere eigentlich hinauswill. Die Funktion hat einen Verlauf bei x=3, die dir sagt, dass die Funktion dort eine "doppelte Nullstelle" hat. Daraus folgt sofort ein Faktor für deine "neue" Funktion, nämlich [mm] (x-3)^2
[/mm]
Ferner hattest du ganz am Anfang die Nullstelle x=1. Daher kommt das (x-1)
Jetzt MUSS man eben wissen, dass man die Gleichung (oder im allgemeinen sogar eine f(x) ) auch als ein Produkt aus ihren Nullstellen schreiben kann. Warum? Veranschaulichen kannst du dir das wieder an dem Beispiel [mm] (x+5)^2, [/mm] diese hatte ja bei x=-5 einen Scheitelpunkt. Dies lässt sich jetzt aber auch schreiben als $(x+5)*(x+5) = [mm] x^2 [/mm] + 10x + 25$ (ausmultipliziert). Bei x=-5 ist doch hier eine Nullstelle
Somit erhälst du einen neuen Term für deine Gleichung
[mm] $(x-1)*(x-3)^2 [/mm] = [mm] x^3-7x^2+15x-9=0 [/mm] $
Solltest du nicht alles verstanden haben, mach einfach die Probe, du erkennst, dass diese Gleichung
[mm] $(x-1)*(x-3)^2 [/mm] = [mm] x^3-7x^2+15x-9$ [/mm] stimmt. Multipliziere einfach die linke Seite aus! Der Lehrer gibt sich damit dann schon zufrieden,... behaupte ich.
Spontan fällt mir da keine andere Vorgehensweise ein. wenn du jetzt sagst, du weisst nicht einmal, was eine Parabel ist, wäre meine "Erklärung" größten Teils für die Katz.
ein kleines Feedback zu deinem Wissenstand dürfte bei einer Antwort von uns hilfreich sein.
MfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Hikari |
vielen dank auf diesen weg wäre ich jetzt nicht gekommen aber du hast ihn einfach verständlich erklärt dankesehr.
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