Arbeitsblatt arccos (2x^2-1) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]f(x) := \arccos \left(2*x^{2}-1\right)[/mm]
Zeigen sie dass im Definitionsbereich von f gilt:
[mm]f(x)= \begin{cases} 2*\arccos(x) +C1 \quad\mbox{ für alle zulässigen positiven Werte} \\ -2*\arccos(x) +C2 \quad\mbox{ für alle zulässigen negativen Werte}\end{cases}[/mm]
wenn die Konstanten C1 und C2 noch durch entsprechende Zahlen ersetzt werden. |
Ich finde bei dieser Aufgabe keinen Ansatz, und weiß nicht wie ich dass zeigen soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo MachineHead,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> arccos (2x^2-1)
> Zeigen sie dass im Definitionsbereich von f gilt:
>
> 2*arccos(x) +C1 für alle zulässigen positiven Werte
> f(x)= {
> -2*arccos(x) +C2 für alle zulässigen
> negativen Werte
>
> wenn die Konstanten C1 und C2 noch durch entsprechende
> Zahlen ersetzt werden.
> Ich finde bei dieser Aufgabe keinen Ansatz, und weiß nicht
> wie ich dass zeigen soll?
>
Wende das ![[]](/images/popup.gif) Additionstherorem für [mm]\cos\left(u+v\right)[/mm],
mit den Argumenten
[mm]u=\arccos\left(x\right)[/mm]
[mm]v=\arccos\left(x\right)[/mm]
an.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Danke für deine Antwort.
Wie funktioniert dass denn genau? Und wie kann ich damit beweisen,
dass die
2+arccosx +C1 für alle positiven Werte und
-2*arccosx+C2 für alle negativen Werte dasselbe ergeben wie arccos [mm] (2x^2-1) [/mm] ? Dass ist doch dass, was zu zeigen ist bei der Aufgabe, oder?
Sorry, habe nicht verstanden, wie ich jetzt mit dem Additionstheorem hantieren soll..Kannst du mir helfen?
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Hallo MachineHead,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke für deine Antwort.
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> Wie funktioniert dass denn genau? Und wie kann ich damit
> beweisen,
> dass die
> 2+arccosx +C1 für alle positiven Werte und
> -2*arccosx+C2 für alle negativen Werte dasselbe ergeben wie
> arccos [mm](2x^2-1)[/mm] ? Dass ist doch dass, was zu zeigen ist bei
> der Aufgabe, oder?
>
>
> Sorry, habe nicht verstanden, wie ich jetzt mit dem
> Additionstheorem hantieren soll..Kannst du mir helfen?
>
Das Addditionstheorem für [mm]\cos\left(u+v\right)[/mm]
benötigst Du um zu zeigen, daß die Beziehung
[mm]\arccos\left(x\right)+\arccos\left(x\right)=\arccos\left(2*x^{2}-1\right)[/mm]
gilt.
Dabei ist natürlich zu beachten, daß
[mm]2*\arccos\left(x\right) \in \left[0, 2 \pi \right][/mm]
und
[mm]\arccos\left(2*x^{2}-1\right) \in \left[0, \pi \right][/mm]
ist.
Das heisst es ist eine entsprechende Konstante zu addieren / subtrahieren.
>
>
>
Gruß
MathePower
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Hi, MachineHead,
> [mm]f(x) := \arccos \left(2*x^{2}-1\right)[/mm]
> Zeigen sie dass im
> Definitionsbereich von f gilt:
>
> [mm]f(x)= \begin{cases} 2*\arccos(x) +C1 \quad\mbox{ für alle zulässigen positiven Werte} \\ -2*\arccos(x) +C2 \quad\mbox{ für alle zulässigen negativen Werte}\end{cases}[/mm]
>
> wenn die Konstanten C1 und C2 noch durch entsprechende
> Zahlen ersetzt werden.
> Ich finde bei dieser Aufgabe keinen Ansatz, und weiß nicht
> wie ich dass zeigen soll?
Die m.E. einfachste Lösung geht folgendermaßen:
1. Berechne die Ableitung von f(x) = [mm] arccos(2x^{2}-1).
[/mm]
(Um zu kürzen, wirst Du dabei eine Fallunterscheidung machen müssen!)
2. Berechne die Ableitung von f(x), wie im 2. Teil gegeben!
Es sollte jeweils (für x > 0 bzw. für x < 0 dasselbe rauskommen!)
3. Zwei Funktionsterme, deren Ableitungen übereinstimmen, KÖNNEN SICH NUR DURCH EINE ADDITIVE KONSTANTE UNTERSCHEIDEN.
Diese Konstante kannst Du berechnen, indem Du für x eine beliebige Zahl einsetzt, z.B. kannst Du für x > 0 mit x=1 und für x < 0 mit x=-1 arbeiten.
mfG!
Zwerglein
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Wo muss ich denn dann 1 und -1 einsetzen? Sind dass bereits die additiven Konstanten oder muss ich 1 und -1 in die Ableitung als x einsetzen und das Ergebnis sind dann die Konstanten?
habe nicht ganz verstanden wie ich die Konstanten dann herausbekomme...
Aber den Rest hab ich verstanden mit den Ableitungen bilder usw., Danke für deinen Beitrag!
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Hi, MachineHead,
zunächst setzt Du x=1 in den Ausgangsterm ein. Ergebnis: f(1) = 0
Dann in den unten gegebenen Term:
f(1) = [mm] 2*arccos(1)+c_{1} [/mm] = 2*0 + [mm] c_{1} [/mm] = [mm] c_{1}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] c_{1} [/mm] = 0
Und nun dasselbe für x < 0:
Setze x=-1 in den ursprünglchen Term ein. Ergebnis: f(-1) = 0
Nun wieder der untere Term:
f(-1) = -2*arccos(-1) + [mm] c_{2} [/mm] = [mm] -2*\pi [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
Da auch hier wieder dasselbe wie oben rauskommen muss, ergibt sich:
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] 2*\pi
[/mm]
Somit ist bewiesen,
dass für x > 0 gilt: [mm] arccos(2x^{2}-1) [/mm] = 2arccos(x)
und für x < 0: [mm] arccos(2x^{2}-1) [/mm] = [mm] -2arccos(x)+2*\pi
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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Vielen, vielen dank für deine Hilfe =)
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