Arbeit: Masse auf Schraubenlie < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 07.11.2015 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Ein Massepunkt werde gegen eine Kraft [mm] F(\vec{x}) [/mm] = [mm] -D\vec{x}-mg\vec{e_{3}}, \vec{x}\in \IR [/mm] , längs einer Schraubenlinie
[mm] \vec{y}(t) [/mm] = [mm] \vektor{tcost \\ tsint \\ ct} [/mm] , 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] T
bewegt. Hierbei sind D, m und c positive reelle Konstanten, und es gilt [mm] \vec{e_{3}} [/mm] = [mm] (0,0,1)^{T}. [/mm] Berechnen Sie die dazugehörige Arbeit [mm] \integral_{\zeta}^{}{F*d\vec{s}}. [/mm] Tun Sie dies sowohl unter Verwendung der Definition dieses Integraltyps sowie mit Hilfe des Potentials. |
Hey,
also zu dem Integraltyp hab ich eine Lösung, bin mir aber nicht sicher ob sie richtig ist:
[mm] G(\vec{x}) [/mm] = [mm] -D\vec{x} [/mm] und [mm] H(\vec{x}) [/mm] = [mm] -mg\vec{e_{3}} [/mm]
Außerdem ist [mm] \vec{y}(t)' [/mm] die Ableitung von [mm] \vec{y}(t) [/mm] nach t. Keine Ahnung wie ich den Punkt drüber setze?
[mm] \integral_{\zeta}^{}{G d\vec{s}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{T}{G*(\vec{y}(t)) * \vec{y}(t)' dt} [/mm] = -D [mm] \integral_{0}^{T}{c^2*t+t dt} [/mm] = [mm] -\bruch{D}{2}*T^2(c^2+1)
[/mm]
[mm] \integral_{\zeta}^{}{H d\vec{s}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{T}{H*(\vec{y}(t)) * \vec{y}(t)' dt} [/mm] = [mm] -mg\integral_{0}^{T}{c dt} [/mm] = -mgcT
[mm] \integral_{\zeta}^{}{F d\vec{s}} [/mm] = [mm] \integral_{\zeta}^{}{G d\vec{s}} [/mm] + [mm] \integral_{\zeta}^{}{H d\vec{s}} [/mm] = [mm] -\bruch{D}{2}*T^2(c^2+1) [/mm] -mgcT
Stimmt das so?
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Wie genau muss ich das jetzt mit dem Potential machen?
Ich weiß das ich im ersten Schritt die Stammfunktion der Vektorfelder G bzw H aufstellen muss und die Anfangs- und Endpunktkurve aufstellen muss. Aber wie genau?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Sa 07.11.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ein Massepunkt werde gegen eine Kraft [mm]F(\vec{x})[/mm] =
> [mm]-D\vec{x}-mg\vec{e_{3}}, \vec{x}\in \IR[/mm] , längs einer
> Schraubenlinie
> [mm]\vec{y}(t)[/mm] = [mm]\vektor{tcost \\ tsint \\ ct}[/mm] , 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm]
> T
> bewegt. Hierbei sind D, m und c positive reelle
> Konstanten, und es gilt [mm]\vec{e_{3}}[/mm] = [mm](0,0,1)^{T}.[/mm]
> Berechnen Sie die dazugehörige Arbeit
> [mm]\integral_{\zeta}^{}{F*d\vec{s}}.[/mm] Tun Sie dies sowohl unter
> Verwendung der Definition dieses Integraltyps sowie mit
> Hilfe des Potentials.
> Hey,
> also zu dem Integraltyp hab ich eine Lösung, bin mir aber
> nicht sicher ob sie richtig ist:
>
> [mm]G(\vec{x})[/mm] = [mm]-D\vec{x}[/mm] und [mm]H(\vec{x})[/mm] =
> [mm]-mg\vec{e_{3}}[/mm]
> Außerdem ist [mm]\vec{y}(t)'[/mm] die Ableitung von [mm]\vec{y}(t)[/mm] nach
> t. Keine Ahnung wie ich den Punkt drüber setze?
so: [mm] $\dot{\vec{y}}(t)$ [/mm] (<- draufklicken)
>
> [mm]\integral_{\zeta}^{}{G d\vec{s}}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{T}{G*(\vec{y}(t)) * \vec{y}(t)' dt}[/mm] = -D
> [mm]\integral_{0}^{T}{c^2*t+t dt}[/mm] = [mm]-\bruch{D}{2}*T^2(c^2+1)[/mm]
>
> [mm]\integral_{\zeta}^{}{H d\vec{s}}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{T}{H*(\vec{y}(t)) * \vec{y}(t)' dt}[/mm] =
> [mm]-mg\integral_{0}^{T}{c dt}[/mm] = -mgcT
>
> [mm]\integral_{\zeta}^{}{F d\vec{s}}[/mm] = [mm]\integral_{\zeta}^{}{G d\vec{s}}[/mm]
> + [mm]\integral_{\zeta}^{}{H d\vec{s}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{D}{2}*T^2(c^2+1)[/mm] -mgcT
>
> Stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich kann keinen Fehler finden.
>
> --------------------------------------------------------------
>
> Wie genau muss ich das jetzt mit dem Potential machen?
> Ich weiß das ich im ersten Schritt die Stammfunktion der
> Vektorfelder G bzw H aufstellen muss und die Anfangs- und
oder direkt des Feldes [mm] $\vec F(\vec [/mm] x)$.
> Endpunktkurve aufstellen muss. Aber wie genau?
>
> LG
Du musst eine sogenannte Potentialfunktion [mm] $\phi(\vec [/mm] x)$ finden, für die gilt [mm] $\nabla \phi(\vec x)=\vec F(\vec [/mm] x)$
Diese Definitionsgleichung stellt Dir auch gleichzeitig drei Differentialgleichungen zur Verfügung, aus denen Du [mm] $\phi(\vec [/mm] x)$ bestimmen kannst. Integriere komponentenweise und beachte, dass die Integrationskonstante von den jeweils anderen beiden Variablen abhängt.
Gruß,
notinX
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