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| Aufgabe | | Sei R eine reflexive und transitive Relation auf M. Sei R^(-1) := [mm] {(y,x)\in\M\times M |(x,y)\in\ R} [/mm] und sei S:= [mm] R\cap [/mm] R^(-1) . Zeigen Sie ,dass S eine Äquivalenzrelation auf M ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Muss man bei dieser Aufgabe beweisen, dass R^(-1) reflexiv und transitiv ist?? Wenn ja, wie beweise ich das?? Und wenn nein, wie dann??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Di 31.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Susann!
> Sei R eine reflexive und transitive Relation auf M. Sei
> R^(-1) := [mm]{(y,x)\in\M\times M |(x,y)\in\ R}[/mm] und sei S:=
> [mm]R\cap[/mm] R^(-1) . Zeigen Sie ,dass S eine Äquivalenzrelation
> auf M ist.
> Muss man bei dieser Aufgabe beweisen, dass R^(-1) reflexiv
> und transitiv ist?? Wenn ja, wie beweise ich das?? Und wenn
> nein, wie dann??
Zeigen mußt du, daß S reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
z. B. reflexiv:
Für x [mm] \in [/mm] M ist (x,x) [mm] \in [/mm] R, weil R refl. ist. Aber dann ist (x,x) [mm] \in R^{-1}, [/mm] weil (x,x) gedreht auch (x,x) ist. Aber dann ist es auch im Durchschnitt, also auch in S.
Jetzt du mit symmetrisch...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Di 31.10.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Symmetrie heißt ja, dass für alle x, [mm] y\in\ [/mm] M gilt: [mm] (x,y)\in\ [/mm] R => [mm] (y,x)\in\ [/mm] R. Aber Wie kann ich das nun beweisen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Di 31.10.2006 | | Autor: | statler |
> Symmetrie heißt ja, dass für alle x, [mm]y\in\[/mm] M gilt:
> [mm](x,y)\in\[/mm] R => [mm](y,x)\in\[/mm] R. Aber Wie kann ich das nun
> beweisen??
S soll symmetrisch sein, nimm also an, du hättest ein (x,y) [mm] \in [/mm] S. Dann liegt das nach Def. von S sowohl in R als auch in [mm] R^{-1}. [/mm] Dann liegt (y,x) in R, weil R refl. ist. Ebenso liegt (y,x) in [mm] R^{-1}, [/mm] weil dort alle gedrehten Paare von R liegen. Aber dann liegt (y,x) im Durchschnitt, also in S.
Aber jetzt du mit transitiv...
LG
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Di 31.10.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Also wenn x~y und y~z dann ist x~z dann ist es transitiv. Muss ich das eigentlich als geordnetes paar schreiben??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:25 Mi 01.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Susann!
> Also wenn x~y und y~z dann ist x~z dann ist es transitiv.
Genau!
> Muss ich das eigentlich als geordnetes paar schreiben??
Meinetwegen nicht! Wenn du die mengentheoretische Schreibweise durchhalten willst, dann doch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Mi 01.11.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Ja ich weiß zwar was Transitivität bedeutet, aber ich habe echt keine Idee wie ich es in dieser Aufgabe beweisen soll!! Deshalb hab ich ja um Hilfe gefragt!
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Hallo!! Kann ich die Transitivität beweisen, in dem ich sage (x,y) ~ (y,x) und das ist äuquivalent zu (x,x)?? Denn dies hätte ich ja eigentlich schon bei der Reflexivität und Symmetrie bewiesen!! Wenn nicht, bin ich mir halt nicht sicher, ´was für andere geordnete Paare ich mit einbringen sollte??
Mfg, Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Fr 03.11.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Susi!
> Hallo!! Kann ich die Transitivität beweisen, in dem ich
> sage (x,y) ~ (y,x) und das ist äuquivalent zu (x,x)?? Denn
> dies hätte ich ja eigentlich schon bei der Reflexivität und
> Symmetrie bewiesen!! Wenn nicht, bin ich mir halt nicht
> sicher, ´was für andere geordnete Paare ich mit einbringen
> sollte??
In dieser Schreibweise heißt 'transitiv' doch, daß aus x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] z x [mm] \sim [/mm] z folgt. Ich würd's lieber mit geordneten Paaren schreiben, aber das ist im Prinzip egal.
Also nimmst du an, daß (x,y) [mm] \in [/mm] S und (y,z) [mm] \in [/mm] S gilt. Und daraus mußt du (x,z) [mm] \in [/mm] S herleiten. Einen Anlauf machst du noch, wir korrigieren ihn dann, OK?
Bis die Tage
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mo 06.11.2006 | | Autor: | SusiSunny |
Hi!! Ich hab die Aufgabe hinbekommen, aber trotzdem vielen Dank für die Hilfe
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