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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 09.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Formulieren Sie das folgende Approximationsproblem als lineares Optimierungsproblem:
Die Funktion f(t)=cos [mm] \left(\bruch{\pi}{2}*t\right) [/mm] soll durch ein Polynom 2. Grades in t
[mm] g(t,a,b,c)=a*t^2+b*t+c
[/mm]
im folgenden Sinne approximiert werden: Die maximale Abweichung an den Stellen t [mm] \in [/mm] T:={-2,0,1,2} soll minimiert werden, d.h. es sind Koeffizienten a,b,c gesucht, sodass
[mm] \max_{t \in T}|g(t;\bar{a}; \bar{b}; \bar{c })-f(t)|=\min_{a,b,c \in R}\max_{t \in T} [/mm] |g(t;a;b;c)-f(t)|. |
Wie kann ich aus diiesem Polynom 2. Grades ein lineares Problem formulieren? Bin für jeden Tipp dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 09.05.2008 | | Autor: | max3000 |
Das ist doch schon ein lineares System, wenn du mal deine konkreten werte einsetzt.
Erstmal die Cosinuswerte ausrechnen:
[mm] cos(\pi/2*(-2))=cos(-\pi)=-1
[/mm]
[mm] cos(\pi/2*(0))=cos(0)=1
[/mm]
[mm] cos(\pi/2*1)=cos(\pi/2)=0
[/mm]
[mm] cos(\pi/2*2)=cos(\pi)=-1
[/mm]
Jetzt einfach einsetzen in |g(t,a,b,c)-f(t)|, da bekommst du:
|4a-2b+c+1|
|c+1|
|a+b+c|
|4a+2b+c-1|
Das ganze soll jetzt bezüglich der Supremumsnorm minimiert werden. Das ganze betrachtest du jetzt als eine Funktion von a,b und c, also
[mm] F(a,b,c)=\vektor{|4a-2b+c+1|\\|c+1|\\|a+b+c|\\|4a+2b+c-1|}
[/mm]
und diese minimieren:
[mm] ||F(a,b,c)||_\infty \rightarrow [/mm] min!
ein ganz normales lineares Optimierungsproblem.
Sowas dürftet ihr ja in der Vorlesung gehabt haben. Wenn ich das richtig verstanden hab wolltest du ja nur wissen, wie man daraus ein lineares Problem macht.
Grüße
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 09.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine schnelle Antwort.
[mm] F(a,b,c)=\vektor{|4a-2b+c+1|\\|c+1|\\|a+b+c|\\|4a+2b+c-1|}
[/mm]
Innerhalb dieser Matrix haben sich meiner Meinung nach 2 Vorzeichenfehler eingeschlichen. Müssten in Zeile 2 und 4 sich nicht die Vorzeichen vor der 1 ändern, weil ja f(t) subtrahiert werden soll?
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Hallo DerGraf,
> Danke für deine schnelle Antwort.
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> [mm]F(a,b,c)=\vektor{|4a-2b+c+1|\\|c+1|\\|a+b+c|\\|4a+2b+c-1|}[/mm]
>
> Innerhalb dieser Matrix haben sich meiner Meinung nach 2
> Vorzeichenfehler eingeschlichen. Müssten in Zeile 2 und 4
> sich nicht die Vorzeichen vor der 1 ändern, weil ja f(t)
> subtrahiert werden soll?
>
Da hast Du recht.
Gruß
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:53 Sa 10.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Im nächsten Schritt soll ich a,b und c sowie das gesuchte Minimum mit einem Programm meiner Wahl berechnen. Zu Hause habe ich Excel2003 zur Verfügung. Wie bekomme ich dieses Problem da rein geschrieben? Hat einer von euch Ahnung davon?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 12.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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