Approx. bzgl. Supremumsnorm < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei M [mm] =\{ax+b | a,b \in \IR \}die [/mm] Menge aller Polynome von Grad kleiner gleich eins.
Bestimmen Sie ungefähr durch Einzeichnen die beste Approximierende von M bezüglich der Supremumsnorm an die Funktion f [mm] (x)=x^3 [/mm] auf dem Intervall [1,1]. |
Hi,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Denn ich weiß gerade nicht genau, wie ich vorgehen soll.
Ich weiß, dass die Supremumsnorm wie folgt definiert ist:
Sei M eine nichtleere Menge, (Y, [mm] \|\cdot\|_Y) [/mm] ein normierter Raum und [mm] \mathcal F_b(M, [/mm] Y) der Funktionenraum der beschränkten Funktionen von M nach Y.
Dann wird durch
[mm] \|\cdot\|_\infty: \mathcal F_b(M, [/mm] Y) [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R, f [mm] \mapsto \sup_{x \in M}\|f(x)\|_Y
[/mm]
eine Norm auf [mm] \mathcal F_b(M, [/mm] Y) definiert.
Aber wie kann ich das jetzt, auf die Aufgabe anwenden?
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 18.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Annahme: das Intervall beginnt bei -1, nicht bei 1.
Etwas schlichter formuliert heißt die Aufgabe: Zeichne in dem Intervall [mm] $f(x)=x^3$. [/mm] Dann zeichne eine Gerade ein, so dass der maximal vorkommende Abstand zwischen der Geraden und f(x) möglichst klein wird.
Die Symmetrie macht das recht übersichtlich.
|
|
|
| |
|
Hi,
ja das mit -1 ist richtig, hatte mich da vertippt, sorry.
Ok, ich habe jetzt mal [mm] f(x)=x^3 [/mm] und G(x)=x gezeichnet. Das Problem ist aber auch, dass es ja unendlich viele Geraden G(x) gibt, da ja [mm] M=\{ax+b | a,b \in \IR \}. [/mm] Woher weiß ich dann, wann der Maximale Abstand minimial wird?
Wie kann man das auch rechnersich Lösungen. Komme hier irgendwie immer noch nicht weiter.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Sa 19.06.2010 | | Autor: | chrisno |
> Hi,
>
> Ok, ich habe jetzt mal [mm]f(x)=x^3[/mm] und G(x)=x gezeichnet.
Das sollte dann so aussehen: (die nächsten plots machst bitte Du)
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Das
> Problem ist aber auch, dass es ja unendlich viele Geraden
> G(x) gibt, da ja [mm]M=\{ax+b | a,b \in \IR \}.[/mm] Woher weiß
> ich dann, wann der Maximale Abstand minimial wird?
Du sollst doch nach Augenmaß eine Gerade hindurchlegen. Wo hat diese Gerade den größten Abstand von [mm] x^3? [/mm] Wie kannst Du den verkleinern? wo werden dann Abstände größer?
>
> Wie kann man das auch rechnersich Lösungen.
Das sollst Du doch nicht. In diesem Fall: Bilde die Differenz mit einem oder zwei Scharparanetern in der Geradengleichung. Leite ab und suche die Extremwerte. Dann solltest Du überlgen, wie Du die vom Betrag her möglichst klein bekommst, indem Du die Scharparameter änderst.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Irgendwie komme ich mit dieser Aufgabe immer noch nicht zurecht. Kann es sein, dass im Nullpunkt der Abstand maximal ist??
> Das sollst Du doch nicht. In diesem Fall: Bilde die Differenz mit einem oder zwei Scharparanetern in der Geradengleichung. Leite ab und suche die Extremwerte. Dann solltest Du überlgen, wie Du die vom Betrag her möglichst klein bekommst, indem Du die Scharparameter änderst.
Was bringt mir denn die Differenz?? Nehme ich z.b. die Gleichung [mm] f_1(x)=x [/mm] und [mm] f_2(x)=x-1 [/mm] die Differenz wäre ja dann -1, und das sagt mir das?
Wenn ich die allegmeine Gleichung [mm] f_a(x)=ax+b [/mm] ableite, bekomme ich ja auch nur [mm] f_a(x)=a, [/mm] aber was sagt mir das jetzt??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 20.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> Irgendwie komme ich mit dieser Aufgabe immer noch nicht
> zurecht. Kann es sein, dass im Nullpunkt der Abstand
> maximal ist??
dort schneidet der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] doch gerade den Graph von $x [mm] \mapsto g(x)=x\,,$ [/mm] also ist der Abstand dort doch sicher alles andere als maximal (nämlich minimal). Damit wüßtest Du zwar
[mm] $$\text{max}\{|x^3-x|:x \in [-1,1]\} \ge 0^3-0=0\,,$$
[/mm]
aber das ist eh eine Trivialität.
> > Das sollst Du doch nicht. In diesem Fall: Bilde die
> Differenz mit einem oder zwei Scharparanetern in der
> Geradengleichung. Leite ab und suche die Extremwerte. Dann
> solltest Du überlgen, wie Du die vom Betrag her möglichst
> klein bekommst, indem Du die Scharparameter änderst.
>
> Was bringt mir denn die Differenz?? Nehme ich z.b. die
> Gleichung [mm]f_1(x)=x[/mm] und [mm]f_2(x)=x-1[/mm] die Differenz wäre ja
> dann -1, und das sagt mir das?
>
> Wenn ich die allegmeine Gleichung [mm]f_a(x)=ax+b[/mm] ableite,
> bekomme ich ja auch nur [mm]f_a(x)=a,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
aber was sagt mir das
> jetzt??
Du missverstehst hier etwas. Es geht darum, den Abstand (gemessen in der Supremumsnorm) zwischen Funktionen, und zwar $f(x)=x^3$ (diese bleibt stets fest!) und den Polynomen aus $M\,,$ zu minimieren.
Der Abstand zwischen der Funktion $f\,$ und einer Funktion $m \in M$ wird dabei so bestimmt, dass dies der maximale (eigentlich zunächst supremale) "Abstand der Funktionswerte zwischen $f\,$ und $m\,$", wobei die Argumente aus $[-1,1]$ sind, ist. Mit "Abstand der Funktionswerte zwischen $f\,$ und $m\,$" meine ich die Werte $|f(x)-m(x)|$ und nicht, wie man sprachlich auch vermuten könnte, dass man dabei auch $|f(x_0)-m(x_1)|$ für $x_0 \not=x_1$ zuläßt.
Anders formuliert:
Finde ein Element $m \in M\,$ so, dass
$$\|m-f\|_\infty$$
möglichst klein wird. Dabei ist $\|m-f\|_\infty:=\text{sup}\{|f(x)-m(x)|: x \in [-1,1]\}\,,$ wobei man hier anstatt $\text{sup}$ auch $\text{max}$ schreiben darf. (Warum? Als Differenz stetiger Funktionen ist stets $m-f\,$ stetig (auf $[-1,1]$) und nimmt daher auf dem Kompaktum...)
Schreiben wir für eine Funktion $m \in M$ nun $m=m_{a,b}\,,$ wenn $m(x)=ax+b$ ist, so hat Dir Chrisno nun gezeigt, wie die Schaubilder entsprechender Graphen von $f(x)=x^3$ und $m_{1,0}$ ausschauen. Wie kann man denn in dem Bild von Chrisno für festes $x \in [-1,1]$ den Wert $|f(x)-m_{1,0}(x)|$ ablesen (nachmessen)?
An welcher Stelle (welchen Stellen) $x\,$ (aus $[-1,1]$) wird der (ungefähr) am größten? Die Differenz der Funktionswerte von $f$ mit $m_{1,0}$ an dieser Stelle gibt Dir dann $\|f-m_{1,0}\|_\infty$ an.
Und nun sollst Du versuchen, zeichnerisch eine Gerade $m_{a^{\*},b^{\*}}$ so zu finden, so dass $\|f-m_{a^{\*},b^{\*}}\|_\infty$ kleinstmöglich wird, also
$$\|f-m_{a^{\*},b^{\*}}\|_\infty \le \|f-m_{a,b}\|_\infty$$
für alle $(a,b) \in \IR^2\,.$
Anders formuliert:
Versuche, zeichnerisch eine Gerade $m_{a^{\*},b^{\*}}$ so zu finden, dass
$$\|f-m_{a^{\*},b^{\*}}\|_\infty=\text{inf}\{\|f-m_{a,b}}\|_\infty:a,b \in \IR\}\,.$$
Ich mache mal ein paar Rechnungen und hoffe, dass Du Dir die Ergebnisse auch anhand entsprechender Schaubilder der Graphen der Funktionen klarmachst.
1.) Wir betrachten $m_{1,0}$ wie Chrisno. Hier ist
$$f(x)-m_{1,0}(x)=x^3-x=:d(x)\,$$
auf $[-1,1]\,.$ Mit Oberstufenmathematik erkennt man, dass $d\,$ sein Minimum an $x=\sqrt\frac{1}{3}$ und sein Maximum an $x=-\sqrt{\frac{1}{3}}$ annimmt.
Damit ist
$$\text{max}\{|d(x)|: x \in [-1,1]\}=\text{max}\{|d(1/\sqrt{3})|,\;|d(-1/\sqrt{3})|\}=2*\sqrt{3}/9=\|d\|_\infty=\|f-m_{1,0}\|_\infty.$$
2.) Wir betachten $m_{1,1}$. Hier ist
$$f(x)-m_{1,1}(x)=x^3-x-1=:\tilde{d}(x)$$
auf $[-1,1]\,.$ Die (globalen und lokalen) Extremstellen von $\tilde{d}$ sind die gleichen wie die von $d\,,$ so dass wir erhalten
$$\text{max}\{|\tilde{d}(x)|: x \in [-1,1]\}=\text{max}\{|\tilde{d}(1/\sqrt{3})|,\;|\tilde{d}(-1/\sqrt{3})|\}=(9+2*\sqrt{3})/9=\|d\|_\infty=\|f-m_{1,1}\|_\infty.$$
Du siehst: $m_{1,0}$ approximiert im Sinne der Supremumsnorm die Funktion $f\,$ mit $f(x)=x^3$ besser als $m_{1,1}\,.$
Allgemein kann man sich überlegen:
Ist $m=m_{a,0} \in M$ mit $R:=\|f-m_{a,0}\|_\infty=\|x^3-ax\|_\infty\,,$ so gilt wegen der Punktsymmetrie von $x \mapsto (f-m_{a,0})(x)=x^3-ax\,,$ dass
$$\|x^3-m_{a,b}(x)\|_\infty=\|x^3-ax-b\|_\infty=R+|b|$$
ist.
Zeichnerisch bringt Dir diese kleine Überlegung sehr viel:
Um $m_{a^{\*},b^{\*}}$ mit
$$\|f-m_{a^{\*},b^{\*}}\|_\infty=\text{inf}\{\|f-m_{a,b}}\|_\infty:a,b \in \IR\}$$
zu finden, reicht es, Ursprungsgeraden aus $M\,$ zu betrachten, d.h.
$$\|f-m_{a^{\*},b^{\*}}\|_\infty=\text{inf}\{\|f-m_{a,0}}\|_\infty:a \in \IR\}\,.$$
Mit anderen Worten:
Zeichne den Graphen von $f(x)=x^3$ (auf $[-1,1]$). Lege nun Dein Geodreieck am Nullpunkt $(0,0) \in \IR^2$ an, zunächst gerne so, dass es den Graphen von $x \mapsto m_{1,0}(x)$ beschreibt. Such den maximalen Abstand der Funktionswerte zwischen dem Graphen von $f\,$ und $m_{1,0}$, diesen solltest Du an den Stellen $x=\pm1/\sqrt{3}$ finden.
Spiel' nun ein bisschen, das heißt:
Drehe nun die Gerade um den Punkt $(0,0)\,$ und schau', wie sich die Differenzen der Funktionswerte verändern. Insbesondere, wann die maximale Differenz der Funktionswerte betragsmäßig am kleinsten wird. Wenn Du eine solche Gerade gefunden hast, halte sie fest und zeichne sie ins Koordinatensystem. Dann kannst Du versuchen, die zugehörige Geradengleichung (zumindest in erster Näherung) mithilfe des eingezeichneten Graphen aufzustellen.
P.S.:
Zunächst überlege Dir, dass Geradensteigungen $a < 0$ bzgl. der Aufgabenstellung "schlecht" sind.
Eine kleine weitere Überlegung (geht auch alleine mit Oberstufenmathematik) zeigt:
Wegen
$$(x^3-ax)'=0 \gdw 3x^2=a \underset{\text{sofern }a > 0}{\gdw}x=\pm\sqrt{a/3}$$
kann man für eine Gerade $m_{a,0}$ an (einer) der Stelle(n) $x=\sqrt{a/3}$ (oder $x=-\sqrt{a/3}$) mithilfe der Graphen von $f\,$ und $m_{a,0}$ nun $\|f-m_{a,0}\|_\infty$ ablesen (sofern diese Stellen in $[-1,1]$ liegen).
Edit: Das letztstehende ist zwar eigentlich nicht falsch, aber sollte ergänzt werden:
Je nachdem, wie "klein" $a > 0\,$ ist, sind diese Stellen nur noch lokale, aber nicht mehr globale Extremstellen von $x \mapsto x^3-ax$; das erkennt man z.B. mit $a=1/2\,$. In diesem Fall schaut man dann vll. auf die Funktionswerte an den Stellen $x=\pm1$, also dem Rand des betrachteten Kompaktums.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 So 20.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
Super vielen dank für die Hilfe.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hi,
ich muss hier nochmal eine dumme Frage stellen.
Wie kann man [mm] d(-\bruch{1}{\wurzel{3}})=(-\bruch{1}{\wurzel{3}})^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] so vereinfachen, um auf [mm] \bruch{2*\wurzel{3}}{9} [/mm] zu kommen??
ich komm da gerade irgendwie nicht drauf....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mo 21.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Wie sonst auch: auf den Hauptnenner bringen, addieren, mit [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] erweitern.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mo 21.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
manchmal hat man echt nen brett vor der birne.
danke und gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Mo 21.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Die Situation kenne ich auch. Gern geschehen.
|
|
|
|
