Anzahl der Nullstellen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:58 So 09.03.2014 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Ist [mm]f \in R[t][/mm] und [mm]\lambda \in C[/mm] eine Nullstelle von $f$, so gilt [mm] $\mu [/mm] (f; [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] (f; [mm] \stackrel{\sim}{\lambda})$ [/mm] |
Beweis:
Es recht zu zeigen, dass [mm] $\mu [/mm] (f; [mm] \lambda) \ge [/mm] k [mm] \Rightarrow \mu [/mm] (f; [mm] \stackrel{\sim}{\lambda}) \ge [/mm] k$.
Das verstehe ich leider nicht. Wenn [mm] $\mu [/mm] (f; [mm] \lambda) [/mm] = 5$ und [mm] $\mu [/mm] (f; [mm] \stackrel{\sim}{\lambda}) [/mm] = 7$, dann ist meine Äquivalenz trotzdem wahr und wir haben keine Gleichheit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 So 09.03.2014 | | Autor: | hippias |
Ich verstehe nur Bahnhof: Was ist denn [mm] $\mu(f,\lambda)$? [/mm] Was ist [mm] \tilde{\lambda}$? [/mm] Wo ist [mm] $\lambda(f,\tilde{\lambda})$ [/mm] geblieben? Welche Aequivalenz meinst Du?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 So 09.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Gemeint war selbstverständlich $ [mm] \mu [/mm] (f; [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \mu [/mm] (f; [mm] \stackrel{\sim}{\lambda}) [/mm] $.
[mm] $\mu(f;\lambda)$ [/mm] ist die Vielfachheit der Nullstelle [mm] $\lambda$ [/mm] von $f$. [mm] $\stackrel{\sim}{\lambda}$ [/mm] ist die komplexe Konjugation und gemeint war natürlich die Implikation und nicht die Äquivalenz.
Es tut mir leid, dass ich es am Anfang so umständlich aufgeschrieben habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 So 09.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Gemeint war selbstverständlich [mm]\mu (f; \lambda) = \mu (f; \stackrel{\sim}{\lambda}) [/mm].
>
> [mm]\mu(f;\lambda)[/mm] ist die Vielfachheit der Nullstelle [mm]\lambda[/mm]
> von [mm]f[/mm]. [mm]\stackrel{\sim}{\lambda}[/mm] ist die komplexe
> Konjugation und gemeint war natürlich die Implikation und
> nicht die Äquivalenz.
Der Witz ist, dass es tatsächlich eine Äquivalenz ist, und zwar deshalb, weil $ [mm] \stackrel{\sim}{ \stackrel{\sim}{\lambda} } =\lambda [/mm] $ ist.
Berücksichtigt man noch die Tatsache, dass [mm] \mu(f;\lambda) [/mm] endlich ist, sollte klar sein, wieso der Hinweis funktioniert.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mo 10.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Bei mir habe ich eine Implikation stehen. Ist es also falsch? Wenn nicht, dann verstehe ich es irgendwie nicht ganz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:31 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo ne1!
> Bei mir habe ich eine Implikation stehen. Ist es also
> falsch? Wenn nicht, dann verstehe ich es irgendwie nicht
> ganz.
Ok, [mm]\mu[/mm] ist die Vielfachheit der Nullstelle und [mm]\widetilde\lambda[/mm] ist das komplex konjugierte zu [mm]\lambda[/mm]. Offen bleibt noch, was [mm]\lambda(f,\widetilde\lambda)[/mm] ist...
...aber ich vermute, dass zu zeigen ist:
"Wenn [mm]\lambda[/mm] Nullstelle mit Vielfachheit [mm]n[/mm] von [mm]f\in\mathbb R[t][/mm] ist, dann ist auch [mm]\widetilde\lambda[/mm] Nullstelle mit Vielfachheit [mm]n[/mm] von [mm]f\in\mathbb R[t][/mm]." (Wobei [mm]\widetilde\lambda[/mm] für das komplex Konjugierte von [mm]\lambda[/mm] steht.)
Unterscheide dazu zunächst mal die Fälle
- [mm]\lambda\in\mathbb R[/mm]: dann ist nichts zu zeigen. (Warum?)
-[mm]\lambda\in\mathbb C\backslash\mathbb R[/mm]: Hier solltest du einen Satz zur Verfügung haben, der sinngemäß lautet, "wenn [mm]\lambda[/mm] Nullstelle von f ist, dann ich auch [mm]\widetilde\lambda[/mm] Nullstelle von f." (Warum hilft hier dieser Satz?)
Lieben Gruß,
Fulla
P.S.: Wenn du einfach irgendwelche (griechischen) Buchstaben hinwirfst, kann man in der Regel nicht sofort schließen, was gemeint ist. Verstehe also (mit einem Lächeln), dass du Antworten bekommst, die dich - ähnlich kryptisch, wie die Fragestellung - in die richtige Richtung schubsen sollen.
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