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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Mo 18.01.2016 | | Autor: | valoo |
Guten Tag allerseits!
Ich möchte heraus finden, wieviele Untergruppen die elementar abelschen 2-Gruppen haben, also die Gruppen $ [mm] E_{n} [/mm] := ( [mm] \IZ [/mm] / 2 [mm] \IZ )^{n} [/mm] $
Sei also [mm] a_{n} [/mm] die Anzahl Untergruppen von [mm] E_{n}
[/mm]
Ich habe mir die ersten paar n angeguckt, stelle aber irgendwie keine Regelmäßigkeit fest:
[mm] E_{1} [/mm] hat nur 2 Untergruppen
[mm] E_{2} [/mm] hat 5 UG
[mm] E_{3} [/mm] hat 16 UG
[mm] E_{4} [/mm] hat 67 UG
[mm] E_{5} [/mm] hat 374 UG
Ich würde jetzt gerne induktiv irgendeine Formel dafür herleiten, komm da aber noch nicht so voran.
Für jede Untergruppen $ U $ von [mm] E_{n} [/mm] hab ich zwei Untergruppen von [mm] E_{n+1} [/mm] (entweder nur das triviale Element in der neuen Komponente oder die ganze Gruppe)
also schonmal $ [mm] e_{n+1} [/mm] = 2 [mm] e_{n} [/mm] + ... $
Ich hab zunächst gedacht, dass dies schon alles ist, aber die obigen Beispiele zeigen, dass dem nicht so ist...
Was beim Übergang von [mm] E_{1} [/mm] zu [mm] E_{2} [/mm] auffällt, ist dass dann $ [mm] \{ (0,0), (1,1) \} [/mm] $ fehlt. Wir aber bestimme ich die allgemeine Anzahl Gruppen, die so entstehen, indem die neue Komponente einfach durch eine alte festgesetzt ist? $ n $ scheint es nicht zu sein, denn so lässt sich der Übergang von [mm] a_{2} [/mm] zu [mm] a_{3} [/mm] nicht erklären oder gibt es noch weitere Untergruppen?
LG
valoo
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Beachte, dass eine elementarabelsche $p$-Gruppe im Wesentlichen dasselbe ist, wie ein [mm] $\IF_p$-Vektorraum. [/mm] Du fragst also nach allen Unterräumen von [mm] $\IF_p^n$. [/mm] Die Anzahl der $k$-dimensionalen Unterräume von [mm] $\IF_q^n$ [/mm] ($q$ eine Primpotenz) ist [mm] $\binom{n}{k}_q$ [/mm] (![[]](/images/popup.gif) Klick!). Ob da etwas hübsches bei rauskommt, wenn man über $k$ summiert, weiß ich nicht, aber ich bezweifle es.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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