Anzahl Nächste Nachbarn < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:59 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Rainingman |
| Aufgabe | | Betrachten wir eine Menge von Punkten in der Ebene. Zu wie vielen Punkten der Menge kann ein Punkt der nächste Nachbar sein? |
Meine bisherigen Überlegungen:
Man nehme einen Punkt M und zwei nächste Nachbarn a und b.
Der Winkel aMb muss eine bestimmte Mindestgröße haben, sonst wird die Strecke ab kleiner als die Entfernung Ma bzw. Mb.
d.h. d(M,a) <= d(a,b) und d(M,b) <= d(a,b)
Nun habe ich versucht den Sinussatz anzuwenden. Ok. Ich weiß das die Innenwinkel zusammen 180 Grad ergeben. Ok.
Durch probieren habe ich herausgefunden, dass der Winkel mind. 60 Grad betragen muss. D.h. es kann also maximal 6 nächste Nachbarn geben.
Wie aber zeige ich das der Winkel mind. 60 Grad haben muss? Es fehlt nur noch ein kleiner Schritt :(
Danke vielmals!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mi 11.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Betrachten wir eine Menge von Punkten in der Ebene. Zu wie
> vielen Punkten der Menge kann ein Punkt der nächste
> Nachbar sein?
>
> Meine bisherigen Überlegungen:
> Man nehme einen Punkt M und zwei nächste Nachbarn a und
> b.
>
> Der Winkel aMb muss eine bestimmte Mindestgröße haben,
> sonst wird die Strecke ab kleiner als die Entfernung Ma
> bzw. Mb.
>
> d.h. d(M,a) <= d(a,b) und d(M,b) <= d(a,b)
>
> Nun habe ich versucht den Sinussatz anzuwenden. Ok. Ich
> weiß das die Innenwinkel zusammen 180 Grad ergeben. Ok.
>
> Durch probieren habe ich herausgefunden, dass der Winkel
> mind. 60 Grad betragen muss. D.h. es kann also maximal 6
> nächste Nachbarn geben.
>
> Wie aber zeige ich das der Winkel mind. 60 Grad haben muss?
> Es fehlt nur noch ein kleiner Schritt :(
>
> Danke vielmals!
Hallo,
du hast einen Punkt M, der ist der nächste Nachbar von A.
Wenn M auch der nächste Nachbar von B sein soll, darf B NICHT im Inneren eines Kreises um A mit dem Radius AM liegen (denn dann wäre nicht M, sondern A der nächstliegende Punkt von B.
Hilft das als Einstieg?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Rainingman |
Leider nicht. Das war mir indirekt bewusst, durch die Bedingungen AM <= AB und MB <= AB.
Leider komme ich immer noch nicht weiter.
Nochmals danke!
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Bzw. Sagen wir einmal so. Wenn AM = AB = MB liegt man optimal genau auf dem Kreis. Dann gilt nach dem Sinussatz auch das alle drei Winkel gleich groß sein müssen. 180/3 =60 grad. Da sind die 60 Grad.
Warum aber müssen denn alle Strecken optimalerweise gleich lang sein? Wie zeigt man das am besten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 12.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Bzw. Sagen wir einmal so. Wenn AM = AB = MB liegt man
> optimal genau auf dem Kreis. Dann gilt nach dem Sinussatz
> auch das alle drei Winkel gleich groß sein müssen. 180/3
> =60 grad. Da sind die 60 Grad.
>
> Warum aber müssen denn alle Strecken optimalerweise gleich
> lang sein? Wie zeigt man das am besten?
Hallo,
auf alle Fälle lässt sich die Annahme, dass es 7 "nächste" Punkte für M gibt,leicht zu einem Widerspruch führen:
Man zerlegt die Ebene durch drei jeweils durch M verlaufende Geraden in sechs 60°-Sektoren. Dann muss es einen Sektor geben, in dem zwei der 7 angeblich "nächsten" Punkte liegen, nennen wir sie A und B.
Da der Winkel AMB dann kleiner als 60° ist, muss einer der anderen Winkel im Dreieck AMB größer als 60° sein. Da im Dreieck der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüberliegt, ist die Strecke AB kürzer als eine der beiden Strecken AM oder MB. Somit ist M NICHT für beide Punkte A,B der nächste Punkt.
Gruß Abakus
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