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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Wie viele Lösungen x [mm] \in [/mm] IR hat die Gleichung
[mm] exp(x^5+\bruch{1}{x^4+2})=cos(x)? [/mm] |
Hallo.
Ich skizziere hier mal kurz meine (nicht mathematisch korrekt aufgeschriebenen) Ideen:
Es existiert auf jeden Fall eine Lsg nach dem Zwischenwertsatz angewendet auf f(x)= [mm] exp(x^5+\bruch{1}{x^4+2})-cos(x) [/mm] (z.B. mit f(0) und [mm] f(-\pi))
[/mm]
Es existieren sogar unendlich viele Lösungen, da der linke Teil der gegebenen Gleichung für x gegen [mm] -\infty [/mm] gegen 0 geht und die Werte von cosx zwischen -1 und 1 schwanken. Es gibt also unendliche viele Intervalle, auf die sich der Zwischenwertsatz anwenden ließe.
Was meint ihr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wie viele Lösungen x [mm]\in[/mm] IR hat die Gleichung
> [mm]exp(x^5+\bruch{1}{x^4+2})=cos(x)?[/mm]
> Hallo.
>
> Ich skizziere hier mal kurz meine (nicht mathematisch
> korrekt aufgeschriebenen) Ideen:
> Es existiert auf jeden Fall eine Lsg nach dem
> Zwischenwertsatz angewendet auf f(x)=
> [mm]exp(x^5+\bruch{1}{x^4+2})-cos(x)[/mm] (z.B. mit f(0) und
> [mm]f(-\pi))[/mm]
Es ist aber f(0)>0 und f(- [mm] \pi)>0 [/mm] !!!
> Es existieren sogar unendlich viele Lösungen, da der
> linke Teil der gegebenen Gleichung für x gegen [mm]-\infty[/mm]
> gegen 0 geht und die Werte von cosx zwischen -1 und 1
> schwanken. Es gibt also unendliche viele Intervalle, auf
> die sich der Zwischenwertsatz anwenden ließe.
das ist Wischi- waschi. Du hast noch nicht ein solches Intervall angegeben !
FRED
>
> Was meint ihr?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ups, ich meinte auch nicht [mm] f(-\pi) [/mm] sondern [mm] f(-2\pi)...
[/mm]
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> Ups, ich meinte auch nicht [mm]f(-\pi)[/mm] sondern [mm]f(-2\pi)...[/mm]
Hallo,
bei einer solchen (ziemlich konstruierten) Aufgabe
mache ich es mir auch ziemlich einfach: ich schaue
mir die Graphen der beiden beteiligten Funktionen
mittels eines Plot-Programms an und schließe:
Es gibt je einen Schnittpunkt in einer (ziemlich
kleinen) Umgebung jeder negativen Nullstelle der
Cosinusfunktion.
Ein Riesen-Gedöns darum zu machen lohnt sich
kaum.
Als Begründung könnte man beispielsweise noch
anführen, dass f und g stetig sind, g periodisch
zwischen den Extrema -1 und +1 schwankt und
0<f(x)< 0.6 für alle x mit x<-1 .
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ok, super. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mo 03.02.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo Trikolon (ein Sechspunkter also),
hier mal ein Wolframplot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich würde nicht von einem Riesengedöns reden, denn die Aufgabe hat durch aus Nährwert:
Sei F: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion mit F(x) [mm] \to [/mm] 0 für $x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$.
[/mm]
Damit betrachten wir die Gleichung
[mm] $e^{F(x)}=cos(x)$.
[/mm]
Behauptung: die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
Der exakte Beweis erfordert, in meinen Augen, einiges aus der Analysis- Zauberkiste:
Wir setzen [mm] $f(x):=cos(x)-e^{F(x)}$.
[/mm]
Sei [mm] $a_n:=-(2n+1)* \bruch{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $b_n:=-2n* \pi$ [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Beide Folgen streben gegen $- [mm] \infty$ [/mm] , daher gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] e^{F(b_n)}<1 [/mm] für n>N.
Für n>N ist dann [mm] f(a_n)<0 [/mm] und [mm] f(b_n) [/mm] > 0.
Zwischen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] hat f also jeweils eine Nullstelle.
FRED
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