Anzahl Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wieviele endliche Körper mit höchstens 20 Elementen gibt es? |
Anzahl der Elemente ist Primzahlpotenz, also [mm] $20\geq p^{n}.$
[/mm]
Das heißt also die möglichen Anzahlen der Elemente sind [mm] $A=\{ 2,4,8,16,3,9,5,7,11,13 \}$.
[/mm]
Wenn ich in [mm] $(\IZ [/mm] / p [mm] \IZ [/mm] )$ bin, dann hat der Körper $p$ Elemente, nämlich $0,1,...,p-1$, was ja heißen würde, dass nur die Primzahlen aus $A$ in Frage kommen?
Weiter komme ich leider nicht :(
Kann mir bitte jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Wieviele endliche Körper mit höchstens 20 Elementen gibt
> es?
> Anzahl der Elemente ist Primzahlpotenz, also [mm]20\geq p^{n}.[/mm]
>
> Das heißt also die möglichen Anzahlen der Elemente sind
> [mm]A=\{ 2,4,8,16,3,9,5,7,11,13 \}[/mm].
Genau, die Anzahl der Elemente eines Körpers ist immer eine Primzahlpotenz. Zudem gibt es (bis auf Isomorphie) zu jeder Anzahl jeweils nur einen Körper. Wenn du deine Liste der Primzahlen und Primzahlpotenzen [mm] $\leq [/mm] 20$ noch vervollständigst (es fehlen 2 Elemente), dann brauchst du die Elemente nur noch abzählen und erhälst so die Anzahl der Körper.
> Wenn ich in [mm](\IZ / p \IZ )[/mm]
> bin, dann hat der Körper [mm]p[/mm] Elemente, nämlich [mm]0,1,...,p-1[/mm],
> was ja heißen würde, dass nur die Primzahlen aus [mm]A[/mm] in
> Frage kommen?
Nein, denn nicht alle endlichen Körper sind von der Form [mm] $\IZ/p\IZ$. [/mm] Der Körper mit vier Elementen ist nicht [mm] $\IZ/4\IZ$, [/mm] er existiert jedoch trotzdem. Um die Anzahl zu bestimmen reicht die Argumentation über die Primzahlpotenzen völlig, du musst gar nicht mehr weiter argumentieren.
> Weiter komme ich leider nicht :(
> Kann mir bitte jemand helfen?
LG Lippel
|
|
|
| |
|
Vielen Dank!
Klar, es fehlten die 17 und die 19: $ [mm] A=\{ 2,4,8,16,3,9,5,7,11,13,17,19 \} [/mm] $
|
|
|
|
