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| Aufgabe | | Zeigen Sie durch eine geschickte Anwendung der Hölder-Ungleichung, dass [mm] ||f||_{1}\le ||f||_{p} [/mm] sogar für alle stetigen Funktionen [mm] f:[0,1]\to\IR [/mm] gilt. |
Hallo Leute,
prinzipiell finde ich die Aufgabe nicht schwer. Also die Hölder-Ungleichung besagt ja, dass [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)*g(x)| dx}\le ||f||_{p}*||f||_{q} [/mm] . In diesem Beispiel haben wir ja keine zweite Funktion g, sondern nur f. Damit folgt [mm] \integral_{a}^{b}{|f^{2}(x)| dx}\le ||f||_{p}*||f||_{q} [/mm] . Das entspricht aber nur ungefähr [mm] ||f||_{1}. [/mm] Hat jemand eine Idee, wie man das weiter abschätzen kann oder muss ein anderer Weg eingeschlagen werden? Eine andere Idee wäre noch q=1 und p=unendlich zu setzen, aber wie rechnet man dann weiter?
Bitte um Hilfe!
Beste Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mo 02.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel
> Zeigen Sie durch eine geschickte Anwendung der
> Hölder-Ungleichung, dass [mm]||f||_{1}\le ||f||_{p}[/mm] sogar für
> alle stetigen Funktionen [mm]f:[0,1]\to\IR[/mm] gilt.
> Hallo Leute,
>
> prinzipiell finde ich die Aufgabe nicht schwer. Also die
> Hölder-Ungleichung besagt ja, dass
> [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)*g(x)| dx}\le ||f||_{p}*||f||_{q}[/mm] .
> In diesem Beispiel haben wir ja keine zweite Funktion g,
> sondern nur f.
Nimm doch ein spezielles $g$. Ein ganz einfaches. Wenn du immer noch keine Idee hast, probier doch mal ganz einfache Funktionen die dir so einfallen (ausser grad die Nullfunktion :) ).
LG Felix
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Hallo Felix,
hab vielen Dank! Mit g=1 steht's ja quasi schon da!!
Viele Grüße
Daniel
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