Anwendung Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mi 19.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
| Aufgabe | | $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $n [mm] \in [/mm] N, n [mm] \ge [/mm] 1$ Zeigen Sie durch Verwendung des Stetigkeitsbegriffes, dass a eine n-te Wurzel besitzt. (Es gibt also ein x mit [mm] $x^n=a$ [/mm] |
Ich hoffe jemand kann mir tipps geben, wie ich soetwas zeigen soll. Bei beweisen habe ich immer schwierigkeiten, einen Ansatz zu finden.
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Hallo georgi,
hier hilft der Zwischenwertsatz.
> [mm]a \ge 0[/mm] und [mm]n \in N, n \ge 1[/mm] Zeigen Sie durch Verwendung
> des Stetigkeitsbegriffes, dass a eine n-te Wurzel besitzt.
> (Es gibt also ein x mit [mm]x^n=a[/mm])
>
> Ich hoffe jemand kann mir tipps geben, wie ich soetwas
> zeigen soll. Bei beweisen habe ich immer schwierigkeiten,
> einen Ansatz zu finden.
Zeige zuerst, dass [mm] f(x)=x^n [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] stetig ist.
Weiter gilt [mm] 0=0^n\le x^n=a\le{a^n}.
[/mm]
Den letzten Schritt wirst Du noch zeigen müssen, was aber nicht schwer ist.
Wenn Du jetzt den Anfang und das Ende dieser Ungleichungskette betrachtest, liefert Dir der Zwischenwertsatz das Gewünschte.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mi 19.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
Das ist ja leider mein Problem. Ich habe keine Vorstellung, wie ich die Stetigkeit von [mm] $f(x)=x^n$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] n$ zeigen soll.
Es ist schwer für mich das [mm] $\delta$ $\epsilon$ [/mm] Kriterium anzuwenden. Ich muss ja irgendetwas gegeben haben oder wie läuft soetwas ab?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 19.12.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
[mm] |x^n-x_0^n|<\epsilon [/mm] falls [mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
[mm] x^n-x_0^n=(x-x_0)*(x^{n-1}+x_0*x^{n-2}+....x_0^{n-1})
[/mm]
damit die stetigkeit, [mm] \delta [/mm] abhängig von [mm] x_0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mi 19.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> hallo
> [mm]|x^n-x_0^n|<\epsilon[/mm] falls [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
> [mm]x^n-x_0^n=(x-x_0)*(x^{n-1}+x_0*x^{n-2}+....x_0^{n-1})[/mm]
wie kommst du auf diese Gleichung?
Ich sehe da nicht ganz durch.
> damit die stetigkeit, [mm]\delta[/mm] abhängig von [mm]x_0[/mm]
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Do 20.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > hallo
> > [mm]|x^n-x_0^n|<\epsilon[/mm] falls [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
> > [mm]x^n-x_0^n=(x-x_0)*(x^{n-1}+x_0*x^{n-2}+....x_0^{n-1})[/mm]
>
> wie kommst du auf diese Gleichung?
> Ich sehe da nicht ganz durch.
herleiten kann man sowas mit Polynomdivision
[mm] $$(x^n-x_0^n):(x-x_0)=\ldots\,,$$
[/mm]
aber Du kannst es auch einfach nachrechnen:
Um
[mm] $$x^n-x_0^n=(x-x_0)*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k$$
[/mm]
einzusehen (daraus folgt übrigens sogar, dass $x [mm] \mapsto x^n$ [/mm]
differenzierbar an [mm] $x_0$ [/mm] ist - wie Du Dir leicht überlegen kannst),
berechne doch einfach mal
[mm] $$(x-x_0)*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k=\big(x*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k\big)-x_0*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k$$
[/mm]
[mm] $$=\big(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}*x_0^k\big)-\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^{k+1}=\big(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}*x_0^k\big)-\sum_{\ell=1}^{n} x^{n-\ell}*x_0^{\ell}\,,$$
[/mm]
wobei ich beim letzten Gleichheitszeichen einen Indexshift gemacht habe,
was ich mit der Substitution [mm] $\ell:=k+1$ [/mm] noch deutlicher gemacht habe. Beachte
dabei auch: $k [mm] \in \{0,\ldots,n-1\} \iff k+1=\ell \in \{1,\ldots,n\}\,.$
[/mm]
Und jetzt guck' mal genau hin, wie man [mm] $\big(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}*x_0^k\big)-\sum_{\ell=1}^{n} x^{n-\ell}*x_0^{\ell}$ [/mm] noch
schreiben kann...
(Tipp: [mm] $$\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big) -\sum_{k=0}^{n-1} a_k=\Big(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\Big)+a_{n} -\big(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\big)-a_0=a_n-a_0\,,$$
[/mm]
nebenbei: Bei der Ziehharmonikasumme rechnet man ja gerade genau so:
[mm] $\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=\ldots=\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big) -\sum_{k=0}^{n-1} a_k=\ldots=a_n-a_0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Do 20.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> Hallo,
>
> > > hallo
> > > [mm]|x^n-x_0^n|<\epsilon[/mm] falls [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
> > >
> [mm]x^n-x_0^n=(x-x_0)*(x^{n-1}+x_0*x^{n-2}+....x_0^{n-1})[/mm]
> >
> > wie kommst du auf diese Gleichung?
> > Ich sehe da nicht ganz durch.
>
> herleiten kann man sowas mit Polynomdivision
> [mm](x^n-x_0^n):(x-x_0)=\ldots\,,[/mm]
> aber Du kannst es auch einfach nachrechnen:
> Um
> [mm]x^n-x_0^n=(x-x_0)*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k[/mm]
>
> einzusehen (daraus folgt übrigens sogar, dass [mm]x \mapsto x^n[/mm]
> differenzierbar an [mm]x_0[/mm] ist - wie Du Dir leicht überlegen
> kannst),
> berechne doch einfach mal
> [mm](x-x_0)*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k=\big(x*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k\big)-x_0*\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^k[/mm]
>
> [mm]=\big(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}*x_0^k\big)-\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}*x_0^{k+1}=\big(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}*x_0^k\big)-\sum_{\ell=1}^{n} x^{n-\ell}*x_0^{\ell}\,,[/mm]
>
> wobei ich beim letzten Gleichheitszeichen einen Indexshift
> gemacht habe,
> was ich mit der Substitution [mm]\ell:=k+1[/mm] noch deutlicher
> gemacht habe. Beachte
> dabei auch: [mm]k \in \{0,\ldots,n-1\} \iff k+1=\ell \in \{1,\ldots,n\}\,.[/mm]
>
> Und jetzt guck' mal genau hin, wie man
> [mm]\big(\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-k}*x_0^k\big)-\sum_{\ell=1}^{n} x^{n-\ell}*x_0^{\ell}[/mm]
> noch
> schreiben kann...
>
> (Tipp: [mm]\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big) -\sum_{k=0}^{n-1} a_k=\Big(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\Big)+a_{n} -\big(\sum_{k=1}^{n-1} a_k\big)-a_0=a_n-a_0\,,[/mm]
>
> nebenbei: Bei der Ziehharmonikasumme rechnet man ja gerade
> genau so:
> [mm]\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})=\ldots=\Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big) -\sum_{k=0}^{n-1} a_k=\ldots=a_n-a_0\,.[/mm])
>
Achso ok Vielen Dank erst einmal,
da kommt tatsächlich
[mm] $x^n-x_0^n$ [/mm] heraus.
aber trotzdem weiß ich nicht, was ich mithilfe dieser Gleichung anfangen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Do 20.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst die Summe in der Klammer abschätzen, indem du erstmal
ein maximales [mm] \delta, [/mm] z.B [mm] \delta0 [/mm] nimmst
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Do 20.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> Hallo
> du musst die Summe in der Klammer abschätzen, indem du
> erstmal
> ein maximales [mm]\delta,[/mm] z.B [mm]\delta0[/mm] nimmst
$ [mm] x^n-x_0^n=(x-x_0)\cdot{}(x^{n-1}+x_0\cdot{}x^{n-2}+....x_0^{n-1}) [/mm] $
Danke aber hast du das maximale [mm] $\delta$ [/mm] aus einem bestimmten Grund so abgeschätzt? Man kann dort ja irgendeinen wert nehmen oder nicht? Die Frage ist bloß, ob es sinnvoll ist mit einem anderen zu arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 20.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
leg irgend ein [mm] \delta [/mm] vorläufig fest, dann rechne ein passendes aus und nimm das min der beiden,
warum nachfragen und nicht einfach mal was tun?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 20.12.2012 | | Autor: | georgi84 |
> Hallo
> leg irgend ein [mm]\delta[/mm] vorläufig fest, dann rechne ein
> passendes aus und nimm das min der beiden,
> warum nachfragen und nicht einfach mal was tun?
Weil ich schwierigkeiten habe, das zu verstehen.
$ [mm] x^n-x_0^n=(x-x_0)\cdot{}(x^{n-1}+x_0\cdot{}x^{n-2}+....x_0^{n-1}) [/mm] $
Ich soll nun also erst einmal die Summe in der Klammer als [mm] $\frac{x_0}{10}$ [/mm] ansehen und dann ausrechnen?
also [mm] $(x-x_0)*\frac{x_0}{10}=\frac{x*x_0}{10}-\frac{x_0^2}{10}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Do 20.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe ist sicher nicht [mm] x_0/10
[/mm]
du sollst sie abschätzen mit [mm] x_0-\delta
vielleicht versuchst du's erstmal mit [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^2.
[/mm]
Nebenfrage: bist du sicher, dass du die Stetigkeit von [mm] x^n [/mm] nicht vorrausetzen darfst?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Fr 21.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> du musst die Summe in der Klammer abschätzen, indem du
> erstmal
> ein maximales [mm]\delta,[/mm] z.B [mm]\delta0[/mm] nimmst
kann man, muss man nicht. Deine Rechnung zeigt die Diff'barkeit an
der Stelle [mm] $x_0\,,$ [/mm] und damit insbesondere die Stetigkeit an dieser.
Deine hier vorgeschlagene Vorgehensweise führt natürlich auch zum
Ziel, und sollte daher auch geübt werden, weil man dann mehr "rein per
Definitionem ohne viele weitere Hilfsmittel" zum Ziel kommen wird!
Gruß,
Marcel
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