Anwendung L´Hospital < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mo 19.10.2009 | | Autor: | pueppiii |
Hallo,
ich habe einen Grenzwert gegeben:
[mm] \limes_{q\rightarrow\(1}S_{q}= [/mm] k [mm] \limes_{q\rightarrow\(1} \bruch{1-\summe_{i=1}^{W}p_{i}exp[(q-1) ln p_{i}]}{q-1}
[/mm]
der Zwischenschritt ist die Anwendung von L´Hospital
um dann dieses Ergebnis zu erhalten:
= - k [mm] \summe_{i=1}^{W}p_{i}ln p_{i}.
[/mm]
Meine Frage: Ich muss die Grenzwerte ableiten nach q?
Der Teil unterm Bruchstrich fällt weg, da q gleich 1. Wenn ich [mm] -\summe_{i=1}^{W}p_{i}exp[(q-1)ln p_{i}] [/mm] ableite, erhalte ich dann das obere, aber warum (sorry tu mich mit der exp Funktion ein wenig schwer)?
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
Vielen lieben Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mo 19.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Summenzeichen stört bei der Ableitung erstmal nicht, da ja die Summenfegel gilt, nämlich (p+q)'=p'+q'
Also betrachte mal "nur" einen Summanden, also
[mm] p_{i}*e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}
[/mm]
Diesen kannst du per Kettenregel ableiten, beachte, dass [mm] p_{i} [/mm] ein konstanter Faktor ist, also:
[mm] \left(p_{i}*e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}\right)'
[/mm]
[mm] =p_{i}*\left(e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}\right)'
[/mm]
[mm] =\underbrace{p_{i}}_{\text{Konst. Fakt.}}*\underbrace{e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}}_{\text{Äußere Abl.}}*\underbrace{\ln(p_{i})}_{\text{innere Abl.}}
[/mm]
Beachte nun, dass
[mm] e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}
[/mm]
[mm] =e^{\ln\left(p_{i}\right)*(q-1)}
[/mm]
[mm] =\left(e^{\ln\left(p_{i}\right)}\right)^{(q-1)}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
(Spiele nun ein wenig mit der Tatsache herum, dass [mm] \exp [/mm] und [mm] \ln [/mm] Umkehrfunktionen sind.)
Kommst du damit erstmal weiter? Ich habe den Gedanken aber auch nicht zu Ende gedacht, aber vielleicht hilfts.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mo 19.10.2009 | | Autor: | pueppiii |
Ok dann erhalte ich, da ln und e Umkehrfunktionen sind: [mm] p_{i}^{q-1} [/mm] und für die gesamte Formel
[mm] =p_{i} p_{i}^{q-1}ln p_{i} [/mm] ? Richtig, oder? Jedoch sieht das noch nicht so aus, wie oben!
Achso und dann setze ich q=1 und somit erhalte ich nur [mm] p_{i} [/mm] ln [mm] p_{i} [/mm] ???
Wie erhalte ich dann das - k ?
Danke!
Lg pueppiii
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das -k steht doch von anfang an in der Summe, wenn dus in den Bruch reinmultiplizierst und das 1*k davor abgeleitet gibt ja 0.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mo 19.10.2009 | | Autor: | pueppiii |
ok, ja deswegen bleibt das -k vor der Summe als Faktor stehen!
Jetzt sind noch diese Fragen zum Verständnis offen:
Ok dann erhalte ich, da ln und e Umkehrfunktionen sind: $ [mm] p_{i}^{q-1} [/mm] $ und für die gesamte Formel
$ [mm] =p_{i} p_{i}^{q-1}ln p_{i} [/mm] $ ? Richtig, oder?
Achso und dann setze ich q=1 und somit erhalte ich nur $ [mm] p_{i} [/mm] $ ln $ [mm] p_{i} [/mm] $ ???
Ich wende doch erst L´ Hospital an, das heisst Zähler und Nenner ableiten nach q und dann setze ich q ein oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
aber warum schreibst du immer :
$ [mm] =p_{i} p_{i}^{q-1}ln p_{i} [/mm] $ statt
$ [mm] =p_{i}^{q}*ln p_{i} [/mm] $
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 19.10.2009 | | Autor: | pueppiii |
Was meinst du?
Ich hatte vorhin nur Bezug genommen auf M.Rex.
Das hier soll doch rauskommen!
= - k $ [mm] \summe_{i=1}^{W}p_{i}ln p_{i}. [/mm] $
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 19.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
kommt ja auch raus fuer q=1. ich hatte mich nur gewundert, dass du das aus Gruenden der Herleitung so hingeschriebene Ergebnis von Rex nicht vereinfachst. war ja nix falsch!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 20.10.2009 | | Autor: | pueppiii |
Achso jetzt hab ichs verstanden, warum ich die [mm] p_{i}´s [/mm] nicht "zusammenziehe"!! Keine Ahnung  !
Danke dir!!
|
|
|
|
