Anwendung Itô-Formel < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Guten Morgen lieber Stefan, guten Morgen an alle anderen,
ich habe mal eine Frage zur Anwendung der Itô-Formel. Die Beispiele im Skript des Vorkurses konnte ich alle nachvollziehen.
Wenn ich nun im Björk (S. 71) (bzw. Skript S. 29) den Übergang vom zeitdiskreten in das zeitstetige Modell nachvollziehen möchte, ergibt sich der Wert des Portfolios in t als
V(t) = h(t) * S(t)
wobei h(t) ja das replizierende Portfolio in t und
S(t) der Preisvektor der Assets ist.
Daraus wird mit Itô für das Differential gefolgert:
dV(t) = h(t)dS(t) + S(t)dh(t) + dS(t)dh(t)
Ich habe überlegt, ob man S(t) als Prozess mit gegebenem Differential annimmt und dann V(t) definiert als V(t) = f(t,S(t)) = h(t) * S(t) und dann mit Itô das Differential bildet. Das führte aber zu keinem Ergebnis.
Oder wurde das Differential erstmal nur als Taylor-Erweiterung berechnet?
Ich habe mich gerade "festgefahren" und hoffe sehr auf deine Hilfe...
Trotzdem wünsche ich dir schon mal ein schönes Wochenende!
Viele Grüße,
Astrid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
Du musst die mehrdimensionale Itô-Formel anwenden:
Definiere dir einen Prozess
$V(t) = f(t,h(t),S(t)) = h(t)S(t)$,
also mit $f(t,x,y) = x [mm] \xdot [/mm] y$.
Dann erhältst du:
$dV(t) = [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(t,h(t),S(t))\, [/mm] dh(t) + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(t,h(t),S(t))\, [/mm] dS(t) + [mm] \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(t,h(t),S(t)) dh(t)dS(t)+ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(t,h(t),S(t)) dS(t)dh(t)\right)$.
[/mm]
(Die restlichen zweiten Ableitungen fallen alle weg.)
Daraus folgt dann wegen $dh(t)dS(t) = dS(t)dh(t)$ die Behauptung.
Alles klar? Frag ruhig nach.  Dir auch ein schönes Wochenende!! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Kennst du dich vielleicht mit Effektivzinsberechnungen aus und kannst du die offene Frage im Finanzmathematik-Forum beantworten? Das wäre sehr nett. Ich habe keine Ahnung davon.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Stefan,
vielen Dank soweit, ich werde es mir noch einmal anschauen.
> Definiere dir einen Prozess
>
> [mm]V(t) = f(t,h(t),S(t)) = h(t)S(t)[/mm],
>
> also mit [mm]f(t,x,y) = x \xdot y[/mm].
Das heißt aber, ich gehe davon aus, dass die Prozesse h(t) und S(t) stochastische Itô-Differentiale haben, obwohl das eigentlich nicht explizit gefordert wurde, oder?
>
> Kennst du dich vielleicht mit Effektivzinsberechnungen aus
> und kannst du die offene Frage im Finanzmathematik-Forum
> beantworten? Das wäre sehr nett. Ich habe keine Ahnung
> davon.
>
Ich kenne mich damit zwar auch nicht wirklich aus, aber werde es mir mal anschauen.
Viele Grüße
Astrid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
> Das heißt aber, ich gehe davon aus, dass die Prozesse h(t)
> und S(t) stochastische Itô-Differentiale haben, obwohl das
> eigentlich nicht explizit gefordert wurde, oder?
Da hast du vollkommen Recht. Du darfst das mit den Voraussetzungen im Björk nicht so genau nehmen.  Es ist halt ein didaktisch hervorragendes, intuitives Buch, aber kein strenges mathematisches Lehrbuch (wenn auch immer noch strenger als viele andere Bücher zur mathematischen finance, aber das nur nebenbei). Und gerade in dem von dir zitierten Abschnitt betreibt er eigentlich nur pure Heuristik.
Eigentlich kannst du oBdA davon ausgehen, dass alle stochastischen Prozesse im Björk Itô-Prozesse sind, also ein stochastisches Differential besitzen, auch wenn es nicht explizit da steht.
> Ich kenne mich damit zwar auch nicht wirklich aus, aber
> werde es mir mal anschauen.
Das ist lieb von dir.
Liebe Grüße
Stefan
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