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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Sei U eine Teilmenge von V. Zeigen Sie: U ist Unterraum von V genau dann wenn die beiden folgenden Aussagen gelten:
i) U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
ii) U ist bei den linearen Operationen abgeschlossen |
Wie zeige ich das denn?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mo 02.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
immer zuerst die def. von Unterraum hinschreiben, dann zeigen dass sie gelten.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:47 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Piatty |
Wie zeige ich denn das die gilt???
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> Wie zeige ich denn das die gilt???
Hallo,
ich würde es Dir ja gerne zeigen, aber sehe nicht die von leduart angeforderte Definition für Untervektorraum, daher kann's leider noch nicht losgehen.
Denn ohne die Def. hanben wir ja nichts in der Hand.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Piatty |
Da gibt es ja die drei bedingungen.
U darf nicht leer sein
Für alle x,y € U gilt: x+y € U
Für alle a € K, x € U gilt: a*x € U
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> Da gibt es ja die drei bedingungen.
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> U darf nicht leer sein
> Für alle x,y € U gilt: x+y € U
> Für alle a € K, x € U gilt: a*x € U
Hallo,
das, was Du hier postest, sind die Unterraumkriterien, also die Kriterien, mit denen man
anhand derer man erkennen kann, ob man es mit einem Untervektorraum zu tun hat.
Sie sind lediglich eine andere Umformulierung von
>>> i) U $ [mm] \not= \emptyset [/mm] $
>>> ii) U ist bei den linearen Operationen abgeschlossen .
Die Definition (!) von Untervektorraum ist anders.
Sei (V, +,*) ein VR über K und [mm] U\subseteq [/mm] V.
U heißt Untervektorraum von V, wenn (U,+,*) auch ein VR über K ist.
(Das bedeutet: U erfüllt alle VR-Axiome)
Zu zeigen ist nun, daß die Unterraumkriterien und die Def. äquivalent sind.
Es sind hierfür zwei Richtungen zu zeigen.
Def ==> Unterraumkriterien ist sehr einfach.
Die andere Richtung ist auch nicht schwer.
Versuch auch hier einen Anfang und berücksichtige, daß Du verwenden darfst, daß V ein Vektorraum ist.
Gruß v. Angela
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