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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Gegeben ist die Funktion zweier variablen
f(x,y) = [mm] e^{xy} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^3
[/mm]
Nun ist gesucht: Den Anstieg der Funktionsfläche in P(0,-1) in Richtung auf Q(4,2)
Keine Ahnung,,,,sorry kann keinen Ansatz liefern
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Die Tangentialebene an die Fläche z = f(x,y) im Flächenpunkt (P,f(P))
P (0,-1) Funktion ist die f(x,y) = [mm] e^{xy} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^3 [/mm]
habe gelernt dass man sowas wie folgt schreibt:
F(x,y,z) = f(x,y) - z = [mm] e^{xy} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - z
Gradient: [mm] \vektor{f_x \\ f_y \\ f_z} [/mm] = [mm] \vektor{ye^{xy} -2x \\xe^{xy} + 3y^2 \\-1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
z = f(x,y) = [mm] e^{xy} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - z = [mm] e^{0} [/mm] + [mm] (-1)^3 [/mm] = 0
Also der Flächenpunkt ist: (4,2,0)
Nun lautet die Tangentialeben
0 = -1*(x - 4) + 3*(y-3)
0 = -x + 4 + 3y -9
0 = -x + 3y -5
Irgendwas passt nicht in der Lösung steht:
3 -x + 3y = 0
Aber was bloss?
Danke, Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 10.11.2010 | | Autor: | moudi |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Kuriger
Gesucht ist die Richtungsableitung im Punkt P(0.-1) , wenn man in der xy-Ebene geradlinig von P in Richtung Q geht. Jetzt ist ja $f_x$ die Richtungsableitung in der positiven x-Richtung und $f_y$ ist die Richtungsableigung in der positiven y Richtung. Ist $\vec n=\vektor{n_x\\n_y}$ ein Einheitsvektor in eine Richtung, so ist die Richtungsableitung (in einem Punkt P) in Richtung $\vec n$ gegeben durch das Skalarprodukt $\vektor{n_x\\n_y}\cdot\left\vektor{f_x\\f_y}\right|_{P}$.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Inwiefern Richtungsableitung? öhh.`?
Ist denn mein Ansatz total falsch?
gruss Kuriger
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> Inwiefern Richtungsableitung? öhh.'?
>
> Ist denn mein Ansatz total falsch?
>
> gruss Kuriger
Hallo Kuriger,
mit meinem Vorschlag eines anschaulichen Zugangs (Tipps
für Zeichnung) hatte ich vor, dich selber auf einen möglichen
Weg zu leiten, auf dem du dir das Konzept "Richtungsab-
leitung" selber geometrisch klar machen kannst anstatt
einfach eine für diesen Zweck gebackene Formel anzuwenden.
Dein Ansatz ist nicht ganz falsch. Ich gehe darauf in einer
dort angehängten Antwort ein.
LG Al-Ch.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:24 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe mir eigentlich schon was überlegt...
Gradient: [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -1 }
[/mm]
Vektor auf Fläche: [mm] \vektor{x-4 \\ y-2 \\ z }
[/mm]
Nun gilt: [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -1 } [/mm] * [mm] \vektor{x-4 \\ y-2 \\ z } [/mm] = 0
0 = -1*(x-4) + 3*(y-2) -z
Hier noch eine Zeichnung als Illustration...[Dateianhang nicht öffentlich] die hier gezeichnete Fläche stimmt wohl nicht mit dieser hier überein, aber vom prinzip her, geht es gleich...
Gruss Kuriger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Der berechnete Gradientenvektor (-1 | 3 | -1) bezieht sich
nicht auf den Punkt (4 | 2 | 0) , der übrigens überhaupt nicht
auf der gegebenen Fläche liegt, sondern auf den Punkt [mm] P_f(0 [/mm] | -1 | 0) !
LG Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hallo
> Die Tangentialebene an die Fläche z = f(x,y) im
> Flächenpunkt (P,f(P))
> P (0,-1) Funktion ist die f(x,y) = [mm]e^{xy}[/mm] - [mm]x^2[/mm] + [mm]y^3[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> habe gelernt dass man sowas wie folgt schreibt:
>
> F(x,y,z) = f(x,y) - z = [mm]e^{xy}[/mm] - [mm]x^2[/mm] + [mm]y^3[/mm] - z
Man kann die Gleichung der Fläche, also z=f(x,y) , natürlich
auf die Form f(x,y)-z=0 bringen und dann definieren: F(x,y,z):=f(x,y)-z
Dann kann man die Gleichung der Fläche in der Form F(x,y,z)=0 schreiben.
Dies hat den Vorteil, dass man dann mittels [mm] \vec{n}=grad(F) [/mm] einen
Normalenvektor zur Fläche in einem Flächenpunkt erhält.
So ein Normalenvektor zur Fläche ist dann auch Normalen-
vektor zur entsprechenden Tangentialebene.
> Gradient: [mm]\vektor{f_x \\ f_y \\ f_z}[/mm] = [mm]\vektor{ye^{xy} -2x \\xe^{xy} + 3y^2 \\-1}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 3 \\ -1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
richtig, aber du solltest auch klar angeben, was dieser Vektor
nun bedeutet (und wie du ihn genau berechnet hast)
> z = f(x,y) = [mm]e^{xy}[/mm] - [mm]x^2[/mm] + [mm]y^3[/mm] - z = [mm]e^{0}[/mm] + [mm](-1)^3[/mm] = 0
>
> Also der Flächenpunkt ist: (4,2,0)
welchen Punkt meinst du nun hier ?
> Nun lautet die Tangentialebene
> 0 = -1*(x - 4) + 3*(y-3) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> 0 = -x + 4 + 3y -9
> 0 = -x + 3y -5
>
> Irgendwas passt nicht in der Lösung steht:
> 3 -x + 3y = 0
Um die Gleichung der Tangentialebene (in [mm] P_f) [/mm] brauchen
wir uns nicht unbedingt zu kümmern.
Um die Steigung des Weges in [mm] P_f [/mm] zu berechnen, wäre aber
nun der berechnete Gradientenvektor (=Normalenvektor zur
Fläche z=f(x,y) ) bestimmt nützlich - aber noch nicht ausreichend.
LG
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> Hallo
> Gegeben ist die Funktion zweier variablen
> f(x,y) = [mm]e^{xy}[/mm] - [mm]x^2[/mm] + [mm]y^3[/mm]
> Nun ist gesucht: Den Anstieg der Funktionsfläche in
> P(0,-1) in Richtung auf Q(4,2)
Hallo Kuriger,
stell dir das Ganze anschaulich vor: wir haben eine
Fläche F im [mm] \IR^3 [/mm] , die durch die Gleichung z=f(x,y) be-
schrieben ist. Dann haben wir da zwei Punkte P und Q
in der x-y-Ebene. Zu P und Q gehören die beiden Punkte
[mm] P_f(0,-1,f(0,-1)) [/mm] und entsprechend [mm] Q_f [/mm] auf der Fläche F.
Man kann sagen: P und Q sind die Grundrisse von [mm] P_f [/mm] und $\ [mm] Q_f$ [/mm] .
Nun betrachten wir den Weg [mm] g_f [/mm] auf der Fläche F, welcher
[mm] P_f [/mm] mit $\ [mm] Q_f$ [/mm] verbindet und dessen Grundriss die Gerade g
durch P und Q ist.
Die Frage ist nun: wie steil ist der Weg [mm] g_f [/mm] in seinem Punkt [mm] P_f [/mm] .
Sinnvoll ist es auch noch, sich die vertikal auf der x-y-Ebene
stehende Ebene V vorzustellen, in welcher sowohl g als
auch [mm] g_f [/mm] (und damit alle betrachteten Punkte) liegen.
Helfen dir diese Tipps ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Wieder handelt es sich um die gleiche Funktion: gesucht ist die Tangente an die Niveaulinie f(x,y) = 0 in deren Schnittpunkt mit der y-Achse
Also Niveaulinie
c = 0 = [mm] e^{xy} -x^2 [/mm] + [mm] y^3
[/mm]
Nun berechne ich davon den Gradient: [mm] \vektor{f_x \\ f_y} [/mm] = [mm] \vektor{ye^{xy} -2x \\ xe^{xy} + 3y^2}
[/mm]
Der Gradient steht ja senkrecht zur Tangente der Niveaulinie. Nun forme ich den Gradient in die Tangente der Niveaulinie um: Muss doch einfach das zeugs kehren und noch ein Vorzeichen ändern.
[mm] \vektor{xe^{xy} + 3y^2 \\ -(ye^{xy} -2x) }
[/mm]
Bin ich da auf dem Holzweg?
Könnte ich auch direkt von der Niveaulinie durch implizites Ableiten die Tangente berechnen
Tangente = - [mm] \bruch{F_y}{F_x} [/mm] = - [mm] \bruch{xe^{xy} + 3y^2}{ye^{xy} -2x}
[/mm]
Scheint ja das gleiche zu geben? Ist ja irgendwie logisch....
Also ich suche den Schnittpunkt der Niveaulinie mit der y Achse. Ich nehm mal an, dass x=0 sien muss an dieser Stelle
0 = [mm] e^{xy} -x^2 [/mm] + [mm] y^3 \to e^{0} [/mm] + [mm] y^3 [/mm] = 0...also y = 1, also ist der Punkt P(0,-1)
Nun setze ich diesen Punkt mal ein, in die Tangente: [mm] -\bruch{3}{-1}
[/mm]
m = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Nun muss diese Tangente durch P(0,-1)
Also lautet die Tangentengerade: y = [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] -1
Stimmt das so?
Danke, gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
>
> Wieder handelt es sich um die gleiche Funktion: gesucht ist
> die Tangente an die Niveaulinie f(x,y) = 0 in deren
> Schnittpunkt mit der y-Achse
>
> Also Niveaulinie
> c = 0 = [mm]e^{xy} -x^2[/mm] + [mm]y^3[/mm]
>
> Nun berechne ich davon den Gradient: [mm]\vektor{f_x \\ f_y}[/mm] =
> [mm]\vektor{ye^{xy} -2x \\ xe^{xy} + 3y^2}[/mm]
> Der Gradient steht
> ja senkrecht zur Tangente der Niveaulinie. Nun forme ich
> den Gradient in die Tangente der Niveaulinie um: Muss doch
> einfach das zeugs kehren und noch ein Vorzeichen ändern.
>
> [mm]\vektor{xe^{xy} + 3y^2 \\ -(ye^{xy} -2x) }[/mm]
> Bin ich da auf
> dem Holzweg?
> Könnte ich auch direkt von der Niveaulinie durch
> implizites Ableiten die Tangente berechnen
Durch implizites Ableiten erhältst Du die Steigung der Tangente.
>
> Tangente = - [mm]\bruch{F_y}{F_x}[/mm] = - [mm]\bruch{xe^{xy} + 3y^2}{ye^{xy} -2x}[/mm]
>
> Scheint ja das gleiche zu geben? Ist ja irgendwie
> logisch....
>
> Also ich suche den Schnittpunkt der Niveaulinie mit der y
> Achse. Ich nehm mal an, dass x=0 sien muss an dieser
> Stelle
Das ist bekanntlich so.
> 0 = [mm]e^{xy} -x^2[/mm] + [mm]y^3 \to e^{0}[/mm] + [mm]y^3[/mm] = 0...also y = 1,
> also ist der Punkt P(0,-1)
> Nun setze ich diesen Punkt mal ein, in die Tangente:
> [mm]-\bruch{3}{-1}[/mm]
>
> m = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Nun muss diese Tangente durch P(0,-1)
> Also lautet die Tangentengerade: y = [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] -1
> Stimmt das so?
Ja.
>
> Danke, gruss Kuriger
>
Gruss
MathePower
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