Ansatz für Poisson Störterm < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Togge |
| Aufgabe | | Gesucht ist die analytische Lösung der Poissongleichung mit [mm] \Delta [/mm] u = -1 |
Moin.
Wir sollen für ein Matheprojekt die Poissongleichung analytisch lösen und in MATLAB visualisieren. Den homogenen Teil haben wir schon gelöst. Um jetzt die Randbedingungen einarbeiten zu können (alle Ränder =0, quadratisches Gebiet von 0 bis 1) brauchen wir aber noch die partikuläre Lösung.
Bei gewöhnlichen DGL ließe sich ja ein konstanter Störterm ansetzen. Ist das hier auch mgölich? Wenn nicht: der Gedanke war durch Variation der Konstanten weiter zu kommen. Bei vier Konstanten und einer quadratischen Gleichung mit zwei Variablen wäre das ja eine ewige Aufgabe.
Wir haben den Hinweis bekommen, in der Literatur zu suchen. Da wir aber Ingenieure sind (darf ich das hier zgueben ;) ), scheitern wir an den Formulierungen... Also ein halbwegs verständlicher Literaturhinweis wäre auch schon super!
Danke & Grüße & Frohes Fest
PS: Ich habe diese Frage natürlich in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PPS: Abgabe ist am 05.01., aber Vorlauf für Implementation etc. ist natürlich nötig :)
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Hallo,
> Gesucht ist die analytische Lösung der Poissongleichung
> mit [mm]\Delta[/mm] u = -1
> Moin.
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> Wir sollen für ein Matheprojekt die Poissongleichung
> analytisch lösen und in MATLAB visualisieren. Den
> homogenen Teil haben wir schon gelöst. Um jetzt die
> Randbedingungen einarbeiten zu können (alle Ränder =0,
> quadratisches Gebiet von 0 bis 1) brauchen wir aber noch
> die partikuläre Lösung.
> Bei gewöhnlichen DGL ließe sich ja ein konstanter
> Störterm ansetzen. Ist das hier auch mgölich? Wenn nicht:
> der Gedanke war durch Variation der Konstanten weiter zu
> kommen. Bei vier Konstanten und einer quadratischen
> Gleichung mit zwei Variablen wäre das ja eine ewige
> Aufgabe.
> Wir haben den Hinweis bekommen, in der Literatur zu
> suchen. Da wir aber Ingenieure sind (darf ich das hier
> zgueben ;) ), scheitern wir an den Formulierungen... Also
> ein halbwegs verständlicher Literaturhinweis wäre auch
> schon super!
eigentlich würde man das wohl über die entsprechende Greensche Funktion lösen, hast Du das (oder Fundamentallösung) schon einmal gehört? Aus der Greenschen Funktion kann man mittels Faltung die Lösungen für inhomogene Gleichungen berechnen.
Die Greensche Funktion für die Laplace-Gleichung auf einem rechteckigen Gebiet lässt sich explizit angeben, berechnet wird sie aus den eigenfunktionen und eigenwerten des laplace-operators.
tiefergehende erklärungen machten wohl nur sinn, wenn man etwas mehr über deinen kenntnissstand wüsste...
gruss
matthias
>
> Danke & Grüße & Frohes Fest
>
> PS: Ich habe diese Frage natürlich in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
> PPS: Abgabe ist am 05.01., aber Vorlauf für
> Implementation etc. ist natürlich nötig :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Do 22.12.2011 | | Autor: | Togge |
Vielen Dank schon mal für die Antowrt!
Greensche Funktion, Fundamentallösung, Eigenwert und Eigenfunktion hab ich alles schon gehört, aber leider immer nur in Zusammenhängen die ich nicht verstanden hab. Sind mehr so Schlagwörter für mich... "mittels Faltung" da weiß ich gar nicht mehr was Sache ist :)
Eigentlich bin ich ganz fit in Mathe, aber Mathe 2 waren bei uns nur homogene/ inhomogene gewöhnliche DGL.
In allen Quellen die ich habe (querbeet aus dem Internet, nicht spezielles) quellen die Lösungen über vor Integralen und Symbolen die ich nicht verstehe/ kenne und der Formulierung "man sieht leicht" :) Ähnlich wie die Vorlesung "wir behandeln hier ja nur einfache Probleme"...
Wär super, wenn du mir einen Weg erklären könntest...
Und nochmal Danke, der Geist der Weihnacht lebt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Sa 24.12.2011 | | Autor: | Togge |
Zusammenfassung:
uxx+uyy=-1
Gebiet= [0,1;0,1]
Ränder = 0
Homogene Lösung: [mm] u=[C_{1}*e^{\wurzel{k}*x}+C_{2}*e^{-\wurzel{k}*x}]*[C_{3}*sin({\wurzel{k}*y})+C_{4}*cos({\wurzel{k}*y})]
[/mm]
Polynom für Variation der Konstanten:
[mm] p(x,y)=Ax^2+By^2+Dx^2y+Exy^2+Fx+Gy+Hxy+I
[/mm]
Lässt sich das iwie in Matlab lösen, wenn ich p(x,y) für die C1-4 oben einsetze?
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Hallo,
> Vielen Dank schon mal für die Antowrt!
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> Greensche Funktion, Fundamentallösung, Eigenwert und
> Eigenfunktion hab ich alles schon gehört, aber leider
> immer nur in Zusammenhängen die ich nicht verstanden hab.
> Sind mehr so Schlagwörter für mich... "mittels Faltung"
> da weiß ich gar nicht mehr was Sache ist :)
> Eigentlich bin ich ganz fit in Mathe, aber Mathe 2 waren
> bei uns nur homogene/ inhomogene gewöhnliche DGL.
> In allen Quellen die ich habe (querbeet aus dem Internet,
> nicht spezielles) quellen die Lösungen über vor
> Integralen und Symbolen die ich nicht verstehe/ kenne und
> der Formulierung "man sieht leicht" :) Ähnlich wie die
> Vorlesung "wir behandeln hier ja nur einfache Probleme"...
OK, dann lass es doch mal mit der variation der konstanten anstelle der greenschen funktion versuchen, siehe Deine Mitteilung weiter unten.
Dir ist aber schon klar, wie die VdK grundsätzlich funktioniert, oder?
Du hast also zB. deine lösung [mm] $u_h$ [/mm] der homogenen gleichung, also
[mm]\Delta u_h=0[/mm] auf [mm] \Omega [/mm] und [mm] $u_h=0$ [/mm] auf [mm] \partial \Omega ($\Omega=[0,1]^2$)
[/mm]
Wenn du nun also VdK mit dem polynom $p(x,y)$ versuchst, setzt Du als lösung der inhomogenen gleichung an
[mm] $u_I=p(x,y)\cdot u_h$
[/mm]
Dann hast Du
[mm] $\Delta u_I=-1 \iff \Delta(p\cdot u_h)=-1 [/mm] $
Mit der Produktregel für den Laplace-Operator gibt das
[mm] $u_h \Delta [/mm] p + [mm] 2\nabla p\cdot \nabla u_h [/mm] + p [mm] \Delta u_h=-1$
[/mm]
Der dritte Summand fällt per definitionem weg, bleiben also die ersten beiden. Ob sich die konstanten so wählen lassen, dass diese gleichung gilt, ist mir ehrlich gesagt nicht klar.
Habt ihr eigentlich den Hinweis bekommen, es mit VdK zu versuchen oder ist es Deine eigene Idee?
gruss
Matthias
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> Wär super, wenn du mir einen Weg erklären könntest...
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> Und nochmal Danke, der Geist der Weihnacht lebt ;)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:39 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Togge |
Ja, so etwas in der Form hab ich auch gemacht. Aber deine Formulierung
[mm] p(x,y)*u_{H}
[/mm]
ist glaube ich nicht korrekt. Zumindest nicht, so wie ich VdK verstanden habe. Wie ich das kenne, muss ich für die [mm] C_{1..4} [/mm] das Polynom einsetzen. Im Moment sieht mein Problem so aus:
[mm] \Delta u_{I}=u_{xx} [/mm] + [mm] u_{yy}
[/mm]
[mm] =(2*cosh(\lambda*x)*(C_{xx}(x,y)+\lambda^2*C(x,y)))*(C_{xx}(x,y)*sin(\lambda*y)+C_{xx}(x,y)*cos(\lambda*y)) [/mm] + [mm] 2*cosh(\lambda*x)*(C_{yy}(x,y)*C(x,y))*(sin(\lambda*y)*(C_{yy}(x,y)-2*\lambda*C_{y}(x,y)-\lambda^2*C(x,y))+cos(\lambda*y)*(C_{yy}(x,y)*+2*\lambda*C_{y}(x,y)-\lambda^2*C(x,y))) [/mm] = -1
C(x,y)=p(x,y) von oben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 05.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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