Ansatz für DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Binky |
| Aufgabe | Berechne die allgemeine Lösung der Diff´gleichung
y"-8y'-9y=4sin(2x)
Welche Lösung erfüllt die Anfangsbedinung y(0)=0, y'(0)=0? |
Hallo habe bei dieser Aufgabe folgenden Ansatz gewählt und frage mich, ob das so in Ordnung ist:
y"-8y'-9y=4sin(2x)
Ansatz: [mm] y=e^{\alpha x}
[/mm]
homogene Lösung:
y"-8y'-9y=0
[mm] \Rightarrow \alpha_{1,2}=4\pm\wurzel{16+9}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_{1,2}=4\pm [/mm] 5
[mm] \Rightarrow \alpha_{1}= [/mm] 9
[mm] \Rightarrow \alpha_{2}=-1
[/mm]
[mm] y_{h}=C_{1}e^{9x}+C_{2}e^{-x}
[/mm]
NR: Wronski Determinante
[mm] W(x)=\vmat{ e^{9x} & e^{-x} \\ 9e^{9x} & -e^{-x} }
[/mm]
[mm] =10e^{8x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow W(x)\not=0
[/mm]
Partielle Lösung
[mm] y_{p}=C_{1}(x)e^{9x}+C_{2}(x)e^{-x}
[/mm]
C1(x)= [mm] -\integral\bruch{g(x)*y_{2}(x)}{W(x)}
[/mm]
[mm] =-\integral{\bruch{\bruch{4sin(2x)}{1}*e^{-x}}{10e^{8x}}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{5}\integral{e^{-9x}*sin(2x)}
[/mm]
...
__________
Weiter habe ich bisher noch nicht gerechnet. Die Zahlen werden an dieser Stelle auch recht unübersichtlich, was mich bei den Übungsaufgaben am Ansatz stuzen lässt. Ergebnisse waren ansonsten immer recht "normal" gewählt.
Würde dann also noch [mm] C_{2} [/mm] ausrechnen und in die [mm] y_{p} [/mm] einsetzen.
Danach [mm] y_{a}=y_{h}+y_{p}
[/mm]
Um die Anfangsbedinung habe ich mich auch noch nicht gekümmert.
Wäre schön, wenn sich dieses mal jemand ansehen könnte.
Gruß
Binky
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Binky,
für die Lösung der partikulären DGL würde ich einen Ansatz vom Typ der rechen Seite nehmen. Zum Sinus gehört doch im charakteristischen Polynom ein Paar rein konjugiert komplexer Nullstellen, ein Ansatz
$$ [mm] y_p [/mm] = A [mm] \sin [/mm] 2x + B [mm] \cos [/mm] 2x $$ sollte Dir hier also weiterhelfen. Ableiten, einsetzen und Koeffizientenvergleich und Du hast die Lösung.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Binky |
> [mm]y_p = A \sin 2x + B \cos 2x[/mm] sollte Dir hier also
Habe bisher noch keine Aufgabe so lösen müssen. Daher steh ich nun erst mal auf dem Schlauch.
Das charakteristische Polynom sagt mir leider nichts. Daher kann ich die Umwandlung von 4 /sin 2x zu A [mm] \sin [/mm] 2x + B [mm] \cos [/mm] 2x nicht nachvollziehen.
Die Ableitung hingegen wäre:
[mm] y_p' [/mm] =2A [mm] \cos [/mm] 2x - 2 B [mm] \sin [/mm] 2x=0
A= 2 [mm] \cos [/mm] 2x
B=-2 [mm] \sin [/mm] 2x
Eingesetzt:
[mm] y_p=2 \cos [/mm] 2x * [mm] \sin [/mm] 2x + -2 [mm] \sin [/mm] 2x [mm] \cos [/mm] 2x
[mm] y_a=y_h=C_1 e^{9x}+C_2 e^{-x}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Binky |
> [mm]y_p = A \sin 2x + B \cos 2x[/mm] sollte Dir hier also
Habe bisher noch keine Aufgabe so lösen müssen. Daher steh ich nun erst mal auf dem Schlauch.
Das charakteristische Polynom sagt mir leider nichts. Daher kann ich die Umwandlung von 4 /sin 2x zu A [mm] \sin [/mm] 2x + B [mm] \cos [/mm] 2x nicht nachvollziehen.
Die Ableitung hingegen wäre:
[mm] y_p' [/mm] =2A [mm] \cos [/mm] 2x - 2 B [mm] \sin [/mm] 2x=0
A= 2 [mm] \cos [/mm] 2x
B=-2 [mm] \sin [/mm] 2x
Eingesetzt:
[mm] y_p=2 \cos [/mm] 2x * [mm] \sin [/mm] 2x + -2 [mm] \sin [/mm] 2x [mm] \cos [/mm] 2x
[mm] y_a=y_h=C_1 e^{9x}+C_2 e^{-x}
[/mm]
Könnte mir dabei jemand weiter helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast offensichtlich das Prinzip des Ansatzes nicht verstanden.
Du setzt y=Asin2x+Bcos 2 x und seine Ableitungen in die Dgl ein.
dann hast du am Ende da stehen:
(Ausdruck1)*sin2x+(Ausdruck2)*cos2x
Der Ansatz ist also eine spezielle Loesung, wenn Ausdruck1=4 Ausdruck2=0 ist
Das nennt man einen Koeffizientenvergleich.
(das char.Polynom hattest du fuer die Loesg des homogenen Systems benutzt, das speilt hier keine Rolle, nur dass es sin2x und cos2x nicht als Loesungen gibt ist wichtig)
Diese Methode ist einfacher als deine Variatin der Konstanten, aber auch die muss zum Ziel fuehren)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Binky |
> Hallo
> Du hast offensichtlich das Prinzip des Ansatzes nicht
> verstanden.
Das ist sehr offensichtlich, wenn ich an der Stelle noch nicht einmal weiß, wie man auf y=Asin2x+Bcos 2 x kommt wenn man die gegebene DGL hat.
Aber darauf bezog sich ja auch meine Frage. Also wäre es sehr nett, wenn mir da schon mal jemand helfen könnte.
> Du setzt y=Asin2x+Bcos 2 x und seine Ableitungen in die
> Dgl ein.
Dann käme da dies raus:
-4b [mm] \cos2x-4a\sin2x-8*(2A\cos2x-2B\sin2x)-9*(A\sin2x+B\cos2x)
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet hab.
> dann hast du am Ende da stehen:
> (Ausdruck1)*sin2x+(Ausdruck2)*cos2x
also umstellen nach sin und cos
Aber lass uns erst einmal klären, wie ich an den Anfang heran gehen kann. Dann glaube ich auch gerne, dass es die einfachere Methode ist.
Gruß
Binky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wegen des sin2x auf der rechten Seite. Da vermutet man aus Erfahrung , dass sowas in Frage kommt. denn die Ableitungen von sin und cos sind ja wieder sin und cos, werden also nur in der Dgl mit Zahlen mult. also muss es klappen!
Wenn da [mm] e^{rt} [/mm] stuende (wobei das nicht schon in der hom. Loesung vorkommt, wuerde ich den Ansatz A*e^rt machen.
wenn es schon in der hom Gl. vorkommt dann [mm] A*t*e^{rt}+Be^{rt}
[/mm]
Wenn x rechts stuende wurd ich ax+b ansetzen usw.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Binky |
Das macht es um einiges klarer.
Danke dir.
Werde erst morgen wieder dazu kommen weiter zu machen.
Werde dann mal die Aufgabe beenden.
Gruß
Binky
|
|
|
|
