Angabe einer Dichte < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X sei stetig verteilt mit folgender Dichte f:
[mm] f(x)=\begin{cases} 2\wurzel{e^{bx}} & \mbox{für } x \mbox{ >0}, \\ 0 & sonst. \end{cases}
[/mm]
a) Berechnen Sie den Wert von b und skizzieren Sie die Dichte f.
b) Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X.
c) Geben Sie eine Dichte der Zufallsvariablen [mm] X^{2} [/mm] an. Betrachten Sie
hierzu die Verteilungsfunktion und bestimmen Sie die Dichte durch die
Berechnung der Ableitung.
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm] P(\bruch{1}{3}\le X^{2}\le \bruch{2}{3}) [/mm] sowie die Erwartungswerte von X und [mm] X^{2}.
[/mm]
e) Bestimmen Sie die Varianz von X. |
Hallo liebe Matheraum- Community,
die Aufgabenteile a) und b) sind soweit klar. Meine Fragen beziehen sich zunächst auf den Aufgabenteil c). Für die hier relevante Verteilungsfunktion bekomme ich die folgende Funktion heraus
[mm] F(x)=2\integral_{0}^{x}{\wurzel{e^{-4x}}dx}=-e^{-2x}+1
[/mm]
Meine Fragen:
1.) Wenn die Zufallsvariable X die Dichte [mm] f(x)=\begin{cases} 2\wurzel{e^{bx}} & \mbox{für } x \mbox{ >0}, \\ 0 & sonst. \end{cases} [/mm] besitzt, wie erhalte ich daraus dann die Dichte für [mm] X^{2}? [/mm] Muss ich dazu die in der Aufgabenstellung angegebene Dichte radizieren?
2.) Was genau muss ich hier ableiten? Die Verteilungsfunktion müsste doch vor der Differentation in irgendeinerweise verändert werden, oder sehe ich das falsch?
Über hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Sa 10.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcel,
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> Meine Fragen:
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>
> 1.) Wenn die Zufallsvariable X die Dichte
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2\wurzel{e^{bx}} & \mbox{für } x \mbox{ >0}, \\ 0 & sonst. \end{cases}[/mm]
> besitzt, wie erhalte ich daraus dann die Dichte für [mm]X^{2}?[/mm]
> Muss ich dazu die in der Aufgabenstellung angegebene Dichte
> radizieren?
Der Trick besteht darin, die Verteilung von [mm] X^2 [/mm] auf die von X
zurueckzufuehren.
a) Welche Werte nimmmt [mm] X^2 [/mm] an? Da X alle positiven Werte annimmt, tut
dies auch [mm] X^2.
[/mm]
b) Bestimme die Verteilungsfunktion G von [mm] X^2. [/mm] Ansatz: Waehle [mm] $y\in\IR^+$.
[/mm]
Dann ist [mm] G(y)=P(X^2\le y)=P(X\le \sqrt{y})=F(\sqrt{y})= [/mm] ...
c) Bestimme die Dichte g=G' von [mm] X^2.
[/mm]
>
>
> 2.) Was genau muss ich hier ableiten? Die
> Verteilungsfunktion müsste doch vor der Differentation in
> irgendeinerweise verändert werden, oder sehe ich das
> falsch?
>
Hier weiss ich nicht, was du meinst.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo luis52,
ich weiss hier leider nicht, wie ich das Integral zur Berechnung der neuen Verteilungsfunktion aufstellen soll. Gemäß deiner Vorgabe lautet mein Versuch:
[mm] F(\wurzel{y})=\integral_{-\infty}^{\wurzel{y}}{\wurzel{e^{-4\wurzel{t}}} dt}
[/mm]
Stimmt denn das aufgestellte Integral? Die -4 innerhalb der e- Funktion erhielt ich durch Lösen des Aufgabenteils a).
Im weiteren Verlauf würde ich eine hieraus erhaltene Stammfunktion ableiten, um die gesuchte Dichte zu ermitteln.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Sa 10.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52,
>
> ich weiss hier leider nicht, wie ich das Integral zur
> Berechnung der neuen Verteilungsfunktion aufstellen soll.
> Gemäß deiner Vorgabe lautet mein Versuch:
>
>
> [mm]F(\wurzel{y})=\integral_{-\infty}^{\wurzel{y}}{\wurzel{e^{-4\wurzel{t}}} dt}[/mm]
>
>
>
> Stimmt denn das aufgestellte Integral? Die -4 innerhalb der
> e- Funktion erhielt ich durch Lösen des Aufgabenteils a).
Du bringst dich um die Fruechte deiner Vorarbeit, wonach gilt:
$ [mm] F(x)=-e^{-2x}+1 [/mm] $.
Also ist [mm] $F(\sqrt{y})=1-\exp[-2\sqrt{y}]$ [/mm] ...
vg Luis
>
>
>
> Im weiteren Verlauf würde ich eine hieraus erhaltene
> Stammfunktion ableiten, um die gesuchte Dichte zu
> ermitteln.
>
Nur zu! 
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo luis52,
dann wäre also
[mm] f(\wurzel{y})=\bruch{e^{-2\wurzel{y}}}{\wurzel{y}}
[/mm]
eine Dichte der Zufallsvariablen [mm] X^{2}?
[/mm]
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 10.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52,
>
> dann wäre also
>
>
> [mm]f(\wurzel{y})=\bruch{e^{-2\wurzel{y}}}{\wurzel{y}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Dichte ist korrekterweise [mm] $\bruch{e^{-2\wurzel{y}}}{\wurzel{y}}$,
[/mm]
was jedoch nicht mit [mm] $f(\sqrt{y})=F'(\sqrt{y})$ [/mm] uebereinstimmt.
>
>
> eine Dichte der Zufallsvariablen [mm]X^{2}?[/mm]
Nicht *eine*, sondern *die* Dichte.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Hallo luis52,
> >
> > dann wäre also
> >
> >
> > [mm]f(\wurzel{y})=\bruch{e^{-2\wurzel{y}}}{\wurzel{y}}[/mm]
>
>
>
> Die Dichte ist korrekterweise
> [mm]\bruch{e^{-2\wurzel{y}}}{\wurzel{y}}[/mm],
> was jedoch nicht mit [mm]f(\sqrt{y})=F'(\sqrt{y})[/mm]
> uebereinstimmt.
>
> > Wie genau würde man denn dann die Dichtefunktion benennen? Etwa mit [mm] f(x^{2})?
[/mm]
> >
> > eine Dichte der Zufallsvariablen [mm]X^{2}?[/mm]
>
> Nicht *eine*, sondern *die* Dichte.
>
> Das hatte ich der Aufgabenstellung entnommen. In jedem Fall schon einmal vielen Dank für deine Hilfe. Sehr nett!
>
> vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Sa 10.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wie genau würde man denn dann die Dichtefunktion benennen?
Ich hatte ja oben schon einen Vorschlag fuer Verteilungsfunktion und
Dichte gemacht.
X: Dichte f und Verteilungsfunktion F
[mm] X^2: [/mm] Dichte g und Verteilungsfunktion G
Es gilt also [mm] $G(y)=1-\exp[-2\sqrt{y}]$ [/mm] fuer $y>0$ und $G(y)=0$ sonst.
Weiter ist [mm] $g(y)=\bruch{e^{-2\wurzel{y}}}{\wurzel{y}} [/mm] $ fuer $y>0$ und $g(y)=0$ sonst.
>
> Schon einmal vielen Dank für deine Hilfe. Sehr nett!
Gerne.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 11.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo luis52,
nun würde ich noch gerne auf die Aufgabenteile d) und e) zu sprechen kommen.
Wir haben ja
[mm] g(y)=\begin{cases} \bruch{{e^{-2\wurzel{y}}}}{\wurzel{y}} & \mbox{für } y \mbox{ >0}, \\ 0 & sonst. \end{cases} [/mm]
und
[mm] G(y)=1-e^{-2\wurzel{y}}
[/mm]
Meine Lösungsvorschläge für die Aufgabenteile d) und e) lauten:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit [mm] P(\bruch{1}{3}\le X^{2}\le \bruch{2}{3})
[/mm]
[mm] P(\bruch{1}{3}\le X^{2}\le \bruch{2}{3})
[/mm]
[mm] =G(\bruch{2}{3})-G(\bruch{1}{3})
[/mm]
[mm] =e^{-2\wurzel{\bruch{1}{3}}}-e^{-2\wurzel{\bruch{2}{3}}}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 0,12
Berechnung der Erwartungswerte
Es gilt zunächst allgemein für eine stetig verteilte Zufallsariable [mm] E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}
[/mm]
Für den Erwartungswert der Zufallsvariablen X gilt also:
[mm] E(X)=\integral_{-\infty}^{0}{x*0 dx}+\integral_{0}^{\infty}{2\wurzel{e^{-4x}} dx}=-e^{-2x}|^{\infty}_{0}=1
[/mm]
Für den Erwartungswert der Zufallsvariablen [mm] X^{2} [/mm] gilt also:
[mm] E(X^{2})=\integral_{-\infty}^{0}{x*0 dx}+\integral_{0}^{\infty}{x*\bruch{e^{-2\wurzel{x}}}{\wurzel{x}} dx}=-\bruch{(2x+2\wurzel{x}+1)e^{-2\wurzel{x}}}{2}|_{0}^{\infty}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Berechnung der Varianz von X
Allgemein gilt: [mm] Var(x)=E((X-E(X))^{2})=E(X^{2})-(E(X))^{2}=\bruch{1}{2}-1^{2}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Stimmen meine Berechnungen? Über eine baldige Antwort würde ich mich freuen.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 11.01.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo luis52,
mein zweiter Versuch hinsichtlich der Erwartungswertberechnung von E(X)lautet also:
[mm] E(X)=\integral_{0}^{\infty}{2x\wurzel{e^{-4x}} dx}
[/mm]
[mm] =-\bruch{(2x+1)e^{-2x}}{2}|_{0}^{\infty}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
Für die Varianz der Zufallsvariablen X erhalten wir also:
[mm] Var(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}-(\bruch{1}{2})^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}
[/mm]
Wie sieht es nun aus? Für deine Hilfe bedake ich mich noch einmal.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 11.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis52,
>
> mein zweiter Versuch hinsichtlich der
> Erwartungswertberechnung von E(X)lautet also:
>
>
>
> [mm]E(X)=\integral_{0}^{\infty}{2x\wurzel{e^{-4x}} dx}[/mm]
>
>
> [mm]=-\bruch{(2x+1)e^{-2x}}{2}|_{0}^{\infty}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{2}[/mm]
>
>
>
> Für die Varianz der Zufallsvariablen X erhalten wir also:
>
>
>
> [mm]Var(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{2}-(\bruch{1}{2})^{2}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{1}{4}[/mm]
>
>
>
> Wie sieht es nun aus? Für deine Hilfe bedake ich mich noch
> einmal.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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