Anfangswertprobleme < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mi 21.10.2015 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme
[mm] a)$y'=xy^2+4x+y^2+4$, [/mm] $y(1)=0$ |
Guten Morgen,
zu a) [mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] xy^2+y^2+4x+4$ [/mm]
[mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] (x+1)(y^2+4)$ [/mm]
[mm] $\frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} [/mm] = (x+1)$
---> $ [mm] \int \frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} [/mm] dx$ = $ [mm] \int [/mm] (x+1) dx$
[mm] $\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{y}{2}) [/mm] = [mm] \frac{x^2}{2}+x+4$
[/mm]
$y(x) = [mm] 2tan(x^2+2x+2c_1)$
[/mm]
wäre das richtig? :S
und $y(1)=0$
[mm] $2tan(3+2c_1)=0$? [/mm] das habe ich leider nicht verstanden.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mi 21.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Lösungen der folgenden
> Anfangswertprobleme
>
> a)[mm]y'=xy^2+4x+y^2+4[/mm], [mm]y(1)=0[/mm]
> Guten Morgen,
>
> zu a) [mm]\frac{dy}{dx} = xy^2+y^2+4x+4[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{dx} = (x+1)(y^2+4)[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} = (x+1)[/mm]
>
> ---> [mm]\int \frac{dy}{\frac{dx}{y^2+4}} dx[/mm] = [mm]\int (x+1) dx[/mm]
Das sollte doch so lauten:
[mm]\int \frac{dy}{y^2+4}=\int (x+1) dx[/mm]
>
>
> [mm]\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{y}{2}) = \frac{x^2}{2}+x+4[/mm]
Wie kommst Du auf "+4" ????
Wir haben zunächst:
[mm]\frac{1}{2}tan^{-1}(\frac{y}{2}) = \frac{x^2}{2}+x+C[/mm]
>
> [mm]y(x) = 2tan(x^2+2x+2c_1)[/mm]
Ja, das ist die allgemeine Lösung der DGL, wobei [mm] c_1 [/mm] alle reellen Zahlen durchlaufen darf.
>
> wäre das richtig? :S
>
> und [mm]y(1)=0[/mm]
>
> [mm]2tan(3+2c_1)=0[/mm]? das habe ich leider nicht verstanden.
Du suchst eien Lösung y der DGL mit y(1)=0.
Unter all den Funktionen der Form
[mm]y(x) = 2tan(x^2+2x+2c_1)[/mm]
ist also diejenige zu ermitteln, für die y(1)=0 gilt, somit bekommt man
[mm] $0=y(1)=2tan(1^2+2*1+2c_1)=2tan(3+2c_1)$.
[/mm]
Das liefert
[mm] 3+2c_1=0, [/mm] also [mm] $c_1=- \bruch{3}{2}$.
[/mm]
Die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems lautet also
[mm]y(x) = 2tan(x^2+2x-3)[/mm]
FRED
>
>
> LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 21.10.2015 | | Autor: | capri |
Vielen dank! habe es bei dieser Aufgabe gut verstanden :)
nun habe ich eine etwas schwierigere evtl könnte man es auch anders lösen, ich habe mir teils hilfe von einem online rechner genommen.
b) $(x+y)y'=y-x$, $y(1)=-1$
[mm] $(y+x)\frac{dy}{dx} [/mm] = y-x
Subs: $y=xv(x)$ dann [mm] $\frac{dy(x)}{dx}=v(x)+x\frac{dv(x)}{dx}$ [/mm] :
[mm] (x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))=-x+xv(x)
[/mm]
vereinfache:
[mm] (x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))(v(x)+1)=x(v(x)-1)
[/mm]
[mm] \frac{dv(x)}{dx} [/mm] = [mm] \frac{-v(x)^2-1}{x(v(x)+1)}
[/mm]
[mm] \frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x}
[/mm]
[mm] \int \frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1} [/mm] dx = [mm] \int \frac{1}{x}dx
[/mm]
mit Rücksub:
[mm] -tan^{-1}(\frac{y}{x})-\frac{1}{2}log(\frac{y^2}{x^2}+1)=log(x)+C
[/mm]
irgendwie kommt mir das nicht soo richtig vor.. Es geht bestimmt leichter oder? LG
und wie setze ich es hier nun ein? $y(1)=-1$? leider ist das ja nicht so wie bei a) aufgebaut...falls das alles richtig ist..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mi 21.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen dank! habe es bei dieser Aufgabe gut verstanden :)
>
> nun habe ich eine etwas schwierigere evtl könnte man es
> auch anders lösen, ich habe mir teils hilfe von einem
> online rechner genommen.
>
> b) [mm](x+y)y'=y-x[/mm], [mm]y(1)=-1[/mm]
> [mm]$(y+x)\frac{dy}{dx}[/mm] = y-x
>
> Subs: [mm]y=xv(x)[/mm] dann [mm]\frac{dy(x)}{dx}=v(x)+x\frac{dv(x)}{dx}[/mm]
> :
>
> [mm](x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))=-x+xv(x)[/mm]
>
> vereinfache:
> [mm](x+xv(x))(x\frac{dv(x)}{dx}+v(x))(v(x)+1)=x(v(x)-1)[/mm]
>
> [mm]\frac{dv(x)}{dx}[/mm] = [mm]\frac{-v(x)^2-1}{x(v(x)+1)}[/mm]
>
> [mm]\frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1}[/mm] = [mm]\frac{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\int \frac{\frac{dv(x)}{dx}v(x)+1}{-v(x)^2-1}[/mm] dx = [mm]\int \frac{1}{x}dx[/mm]
>
> mit Rücksub:
>
> [mm]-tan^{-1}(\frac{y}{x})-\frac{1}{2}log(\frac{y^2}{x^2}+1)=log(x)+C[/mm]
>
> irgendwie kommt mir das nicht soo richtig vor.. Es geht
> bestimmt leichter oder? LG
>
> und wie setze ich es hier nun ein? [mm]y(1)=-1[/mm]? leider ist das
> ja nicht so wie bei a) aufgebaut...falls das alles richtig
> ist..
Das Anfangswertproblem
$ (x+y)y'=y-x $,
$ y(1)=-1 $
hat keine Lösung ! Denn wäre $y:I [mm] \to \IR$ [/mm] eine Lösung dieser Aufgabe, wobei $I$ ein Intervall in [mm] \IR [/mm] mit $1 [mm] \in [/mm] I$ ist, so hätten wir
$ (1+y(1))y'(1)=y(1)-1 $.
Nun ist aber $1+y(1)=0$ und $y(-1)-1=-2$.
Edit: es sollte natürlich $y(1)-1=-2$ lauten.
Das hätte $0=-2$ zur Folge !
Lautet die Aufgabe im Original wirklich so ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mi 21.10.2015 | | Autor: | capri |
Ja die Aufgabe lautet:
$(x+y)y' =y-x, y(1)=-1$
was mich noch mehr irritiert ist Aufgabe 2) Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem
$(x+y)y' =y-x, y(0)=0$ keine Lösung besitzt.
aber bei Aufgabe 1b) müssen wir es ja zeigen dass es ein Anfangswertproblem hat
$(x+y)y' =y-x, y(1)=-1$
also quasi zweimal die gleiche Gleichung.. eine hat keine lösung die andere ja? :S
oder eher ein Tippfehler? LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mi 21.10.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ja die Aufgabe lautet:
>
> [mm](x+y)y' =y-x, y(1)=-1[/mm]
>
> was mich noch mehr irritiert ist Aufgabe 2) Weisen Sie
> nach, dass das Anfangswertproblem
>
> [mm](x+y)y' =y-x, y(0)=0[/mm] keine Lösung besitzt.
>
> aber bei Aufgabe 1b) müssen wir es ja zeigen dass es ein
> Anfangswertproblem hat
> [mm](x+y)y' =y-x, y(1)=-1[/mm]
>
> also quasi zweimal die gleiche Gleichung.. eine hat keine
> lösung die andere ja? :S
Das kann passieren, denn die Forderung y(0)=0 kann zu einem Widerspruch führen, während die Forderung y(1)=-1 tatsächlich zu einer speziellen Integrationskonstante C führt.
>
> oder eher ein Tippfehler? LG
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 21.10.2015 | | Autor: | capri |
Okay danke das ist auch schonmal gut zu wissen. :)
aber laut Fred besitzt ja die Gleichung $ (x+y)y' =y-x, y(1)=-1 $ auch keine Lösung? :S
LG
PS: Das Anfangswertproblem
$ (x+y)y'=y-x $,
$ y(1)=-1 $
hat keine Lösung ! Denn wäre $ y:I [mm] \to \IR [/mm] $ eine Lösung dieser Aufgabe, wobei $ I $ ein Intervall in $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ 1 [mm] \in [/mm] I $ ist, so hätten wir
$ (1+y(1))y'(1)=y(1)-1 $.
Nun ist aber $ 1+y(1)=0 $ und $ y(-1)-1=-2 $. Das hätte $ 0=-2 $ zur Folge !
wie kommt man denn auf -2? man weiß doch nur dass y(1)=-1 ist aber nicht was y(-1) ist? und was ist mit y'(x)?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 21.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay danke das ist auch schonmal gut zu wissen. :)
>
> aber laut Fred besitzt ja die Gleichung [mm](x+y)y' =y-x, y(1)=-1[/mm]
> auch keine Lösung? :S
>
> LG
>
> PS: Das Anfangswertproblem
>
> [mm](x+y)y'=y-x [/mm],
>
> [mm]y(1)=-1[/mm]
>
> hat keine Lösung ! Denn wäre [mm]y:I \to \IR[/mm] eine Lösung
> dieser Aufgabe, wobei [mm]I[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] mit [mm]1 \in I[/mm]
> ist, so hätten wir
>
> [mm](1+y(1))y'(1)=y(1)-1 [/mm].
>
> Nun ist aber [mm]1+y(1)=0[/mm] und [mm]y(-1)-1=-2 [/mm]. Das hätte [mm]0=-2[/mm] zur
> Folge !
>
> wie kommt man denn auf -2? man weiß doch nur dass y(1)=-1
> ist aber nicht was y(-1) ist?
Da hatte ich mich oben verschrieben (und mittlerweile auch schon verbessert). Ich meinte natürlich
[mm]y(1)-1=-2 [/mm].
> und was ist mit y'(x)?
Wir haben
(*) [mm](1+y(1))y'(1)=y(1)-1 [/mm].
Es ist y(1)-1=-2 und 1+y(1)=0. y'(1) kennen wir natürlich nicht, brauchen wir auch nicht, denn aus (*) bekommen wir den Widerspruch 0=-2.
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 22.10.2015 | | Autor: | capri |
erstmal danke für die ganzen Antworten bei c)
[mm] $y'=(x-1)e^{y-x}$, [/mm] $y(-1)=0$ bzw. $y(0)=0$
dort habe ich als Lösung: [mm] $y(x)=-log(\frac{x}{e^x}+C)$
[/mm]
bei $y(-1)=0, [mm] (\frac{-1}{e^{-1}}+C)$
[/mm]
das liefert ca. -2,72+C=0 also, C=2,72
und $y(0)=0 , [mm] (\frac{0}{e^0}+C)$
[/mm]
das liefert C=0
wäre das richtig?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> erstmal danke für die ganzen Antworten bei c)
>
> [mm]y'=(x-1)e^{y-x}[/mm], [mm]y(-1)=0[/mm] bzw. [mm]y(0)=0[/mm]
>
> dort habe ich als Lösung: [mm]y(x)=-log(\frac{x}{e^x}+C)[/mm]
>
> bei [mm]y(-1)=0, (\frac{-1}{e^{-1}}+C)[/mm]
Das stimmt.
>
> das liefert ca. -2,72+C=0 also, C=2,72
Auaaaa ! mit 2,72 meinst Du doch wohl nicht die Eulersche Zahl $e$ ? Wenn doch, so lass doch den Dezimalquatsch und schreibe $e$.
Dennoch: Dein C stimmt nicht. Aus 0=y(-1) folgt log(C-e)=0. Also E-e=1
Edit: natürlich war C-e=1 gemeint.
und Somit C=e+1.
>
> und [mm]y(0)=0 , (\frac{0}{e^0}+C)[/mm]
>
> das liefert C=0
Das stimmt auch nicht. Rechne nochmal.
FRED
>
> wäre das richtig?
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 22.10.2015 | | Autor: | capri |
Hallo Fred kurze zwischenfrage, von wo hast du jetzt das E?
$E-e=1$?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred kurze zwischenfrage, von wo hast du jetzt das
> E?
> [mm]E-e=1[/mm]?
Upps, da hab ich mich verschrieben. Natürlich ist gemeint C-e=1.
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 22.10.2015 | | Autor: | capri |
also muss $c=1$ sein damit dann ist halt $log(1)=0$
richtig?
habe noch eine Frage bei diesem Aufgabenteil:
Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem
$ (x+y)y' =y-x, y(0)=0 $ keine Lösung besitzt.
da hattest du ja Fred, bei der zweiten Antwort glaube ich eine Lösung hingeschrieben wo $y(1)=-1$ war.
Ich habe mal versucht die Lösung von dir wo du 0=-2 raus hattest es bei $y(0)=0$ zu versuchen... da bekam ich 0=0 raus, aber dann müsste es ja eine Lösung geben. Oder mein 0=0 ist falsch...^^
LG
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Hallo capri,
> also muss [mm]c=1[/mm] sein damit dann ist halt [mm]log(1)=0[/mm]
>
> richtig?
>
Nein aus C-e=1 folgt doch C=1+e.
> habe noch eine Frage bei diesem Aufgabenteil:
>
> Weisen Sie nach, dass das Anfangswertproblem
>
> [mm](x+y)y' =y-x, y(0)=0[/mm] keine Lösung besitzt.
>
> da hattest du ja Fred, bei der zweiten Antwort glaube ich
> eine Lösung hingeschrieben wo [mm]y(1)=-1[/mm] war.
>
> Ich habe mal versucht die Lösung von dir wo du 0=-2 raus
> hattest es bei [mm]y(0)=0[/mm] zu versuchen... da bekam ich 0=0
> raus, aber dann müsste es ja eine Lösung geben. Oder mein
> 0=0 ist falsch...^^
>
In der Tat erhältst Du mit der Anfangsbedingung y(0)=0 eine Lösung.
> LG
Gruss
MathePower
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