Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Buerger |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems:
u' = −u + 4v
v' = −u + 3v
u(0) = v(0) = 1 |
Hallo,
Das ist eine Übungsaufgabe zur Prüfungsvorbereitung, daher ist es in Ordnung wenn ihr mir auch Vorhilfen gebt.
Die einzelnen DGL-en könnte ich ja lösen, aber ich weiß nicht wie ich hier anfangen soll. Leider habe ich auch keine Aufgabe gefunden die ähnlich wäre sodass ich mich da durcharbeiten könnte.
Könnt ihr mir bitte sagen was ich hier machen muss?
Gruß,
Buerger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die eindeutig bestimmte Lösung des
> Anfangswertproblems:
>
> u' = −u + 4v
> v' = −u + 3v
>
> u(0) = v(0) = 1
> Hallo,
>
> Das ist eine Übungsaufgabe zur Prüfungsvorbereitung,
> daher ist es in Ordnung wenn ihr mir auch Vorhilfen gebt.
Was sonst erwartest du hier?
> Die einzelnen DGL-en könnte ich ja lösen, aber ich weiß
> nicht wie ich hier anfangen soll.
Das zeigt eines: du hast leider noch nicht einmal die Aufgabe verstanden. Es handelt sich um ein DGL-System erster Ordnung, nicht um einzelne DGLen. Mit
[mm] \vec{y}=\vektor{u \\ v}
[/mm]
kann man das System auch so schreiben:
[mm]\vec{y'}=\pmat{ -1 & 4 \\ -1 & 3 }*\vec{y} [/mm]
Vielleicht hilft dir dies ja beim Verständnis der Aufgabe.
> Leider habe ich auch
> keine Aufgabe gefunden die ähnlich wäre sodass ich mich
> da durcharbeiten könnte.
Das ist auch der völlig falsche Weg. Als erstes nimmst du dein Lehrbuch/Skript zur Hand und arbeitest das Kapitel über DGL-Systeme gründlich durch. Dann versuchst du dich an entsprechenden Aufgaben. Es kann einfach nicht sein (weil es nicht funktioniert, auch wenn man es wollte), dass wir hier ganze Fachgebiete in wenigen Antworten erklären.
>
> Könnt ihr mir bitte sagen was ich hier machen muss?
>
Das, was ich oben geschrieben habe. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Buerger |
Hallo Diophant,
Mein Vorlesungsskript kann man vergessen, deswegen frage ich ja hier nach. Also ich verstehe ja das ich am Ende eine Lösung rausbekommen muss, bei der ich dann nur noch die Anfangswerte einsetzen muss um das AWP endgültig zu lösen.
Leider weiß ich nicht wie man da hinkommt.
> $ [mm] \vec{y'}=\pmat{ -1 & 4 \\ -1 & 3 }\cdot{}\vec{y} [/mm] $
Ich habe mir gedacht erstmal das charakteristische Polynom zu ermitteln:
Die aufgestellte Matrix nenne ich A.
0 = det(A - [mm] \lambda* [/mm] E) = [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 2\lambda [/mm] +1
-> [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
-> [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
Jetzt habe ich irgendwo gelesen, dass ich den Eigenvektor [mm] \overrightarrow{t}^{1} [/mm] und [mm] \overrightarrow{t}^{2} [/mm] ermitteln muss.
Das mache ich ja indem ich das jeweilige [mm] \lambda [/mm] in 0 = det(A - [mm] \lambda* [/mm] E) einsetze.
-> 0 = det(A - [mm] \lambda* [/mm] E) * [mm] \overrightarrow{t}^{1} [/mm]
=> (-1 -1)* [mm] (\overrightarrow{t}^{1})_{1} [/mm] + 4* [mm] (\overrightarrow{t}^{1})_{2} [/mm] = 0
dann kommt raus [mm] (\overrightarrow{t}^{1})_{1} [/mm] = 2* [mm] (\overrightarrow{t}^{1})_{2}
[/mm]
Ist das so richtig? Wenn ja wie muss ich weitermachen?
Danke,
Buerger
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Hallo Buerger,
> Hallo Diophant,
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> Mein Vorlesungsskript kann man vergessen, deswegen frage
> ich ja hier nach. Also ich verstehe ja das ich am Ende
> eine Lösung rausbekommen muss, bei der ich dann nur noch
> die Anfangswerte einsetzen muss um das AWP endgültig zu
> lösen.
>
> Leider weiß ich nicht wie man da hinkommt.
>
> > [mm]\vec{y'}=\pmat{ -1 & 4 \\ -1 & 3 }\cdot{}\vec{y}[/mm]
Das ist mit [mm]\vec y=\vektor{u\\v}[/mm] einfach die Matrixschreibweise des Ausgangsdglsystems ...
>
> Ich habe mir gedacht erstmal das charakteristische Polynom
> zu ermitteln:
>
> Die aufgestellte Matrix nenne ich A.
Ok, du brauchst die Eigenwerte von A
>
> 0 = det(A - [mm]\lambda*[/mm] E) = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]2\lambda[/mm] +1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> -> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1
> -> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1
>
> Jetzt habe ich irgendwo gelesen, dass ich den Eigenvektor
> [mm]\overrightarrow{t}^{1}[/mm] und [mm]\overrightarrow{t}^{2}[/mm] ermitteln
> muss.
>
> Das mache ich ja indem ich das jeweilige [mm]\lambda[/mm] in 0 =
> det(A - [mm]\lambda*[/mm] E) einsetze.
>
> -> 0 = det(A - [mm]\lambda*[/mm] E) * [mm]\overrightarrow{t}^{1}[/mm]
>
> => (-1 -1)*
> [mm](\overrightarrow{t}^{1})_{1}[/mm] + 4*
> [mm](\overrightarrow{t}^{1})_{2}[/mm] = 0
>
>
> dann kommt raus [mm](\overrightarrow{t}^{1})_{1}[/mm] = 2*
> [mm](\overrightarrow{t}^{1})_{2}[/mm]
>
> Ist das so richtig? Wenn ja wie muss ich weitermachen?
Das kann ich kaum entziffern.
Wenn du [mm]\lambda=1[/mm] in [mm]A-\lambda E_2[/mm] einsetzt und den Kern davon bestimmst, so kommt man doch schnell auf [mm]\vec a \ = \ \vektor{2\\1}[/mm] als Eigenvektor zu [mm]\lambda=1[/mm]
Insbesondere ist der Kern "nur" eindimensional, die Matrix A also nicht diagonalisierbar.
Da musst du dir einen Hauptvektor beschaffen.
Nennen wir den [mm]\vec b=\vektor{b_1\\b_2}[/mm]
Bestimme [mm]\vec b[/mm] gem. [mm]det(A-\lambda E_2)\cdot{}\vec b \ = \ \vec a[/mm], also [mm]\pmat{-2&4\\-1&2}\cdot{}\vektor{b_1\\b_2} \ \overset{!}{=} \ \vektor{2\\1}[/mm]
Dann bekommst du hoffentlich ein Fundamentalsystem heraus ...
Modulo Rechenfehler ...
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> Danke,
>
> Buerger
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Buerger,
> Hallo Diophant,
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> Mein Vorlesungsskript kann man vergessen, deswegen frage
> ich ja hier nach.
Dagegen ist ja auch gar nichts einzuwenden. Aber es ist eine sehr ungute Tendenz, die man seit einigen Jahren beobachtet, dass der Irrglaube immer mehr umgeht, das Internet könnte eine vernünftige Literatur ersetzen. Es soll jeder halten, wie er es für richtig hält. Ich bin aber überzeugt, dass man sich mit dieser Art des Lernens (Aufgaben rechnen an Stelle von Stoff erarbeiten und verstehen) überhaupt keinen Gefallen tut und deshalb erlaube ich mir von Zeit zu Zeit, darauf hinzuweisen.
Ich weiß auch, dass man sich als Student nicht ständig Bücher kaufen kann (mir ging das damals nicht anders). Aber es gibt Leihbibliotheken, und zu so etwas wie Differentialgleichungen in diesem einfachen Rahmen wird man dort normalerweise auch fündig werden.
Es ist ja doch offensichtlich so, dass du dich in Teilen mit dem Stoff schon angefreundet hast. Nur deine Formulierung, du könntest die einzelnen Gleichungen für sich lösen (mit unterschiedlichen Funktionen!), die hat eben die Vermutung nahegelegt, dass du dich mit der Materie noch gar nicht befasst hast.
Das war der Grund für meine Bemerkung.
Gruß, Diophant
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