Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Mi 22.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Berechnen sie die Lösung des Anfangwertproblems
y' = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
y(0) = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Hab das allgemeine vorgehen noch nicht ganz verstanden.
Zunächst hab ich die Eigenwerte berechnet:
[mm] \lambda_1 [/mm] =2 [mm] \lambda_2 [/mm] =2 [mm] \lambda_3 [/mm] =0
Eigenvektoren berechnet:
[mm] V_1 [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] V_2 [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] V_3 [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ -2 \\ 4 }
[/mm]
Wronski-Matrix aufstellen:
W(t) = [mm] V_1*e^{\lambda_1t}, V_2*e^{\lambda_2t}, (V_3+V_2t)*e^{\lambda_3t}
[/mm]
Einsetzen und dann W(0) *c = y(0) ergibt meine homogene Lösung?
Wie komme ich auf die inhomogene?
Danke für das erklären der Vorgehensweise!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 22.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht weder ne hom. noch ne inh. Dgl! wenn ich hinten y ergänze ist es eine homogene dgl.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 22.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Wäre folgende vorgehensweise dann richtig für die homogene DGL:
W(t) = [mm] \pmat{ e^{2t} & 0 & 1 \\ 0 & e^{2t} & (-2 + t) \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
W(0)= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
W(0)= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 } [/mm] * c = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Wie würd ich dann auf die inhomogene kommen?
Vielen Dank nochmal
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Hallo zocca21,
> Wäre folgende vorgehensweise dann richtig für die
> homogene DGL:
>
> W(t) = [mm]\pmat{ e^{2t} & 0 & 1 \\ 0 & e^{2t} & (-2 + t) \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
Das ist nicht richtig.
>
> W(0)= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> W(0)= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm] * c =
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> Wie würd ich dann auf die inhomogene kommen?
[mm]y' = \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0} y+s\left(t\right)[/mm]
stellt für [mm]s\left(t\right)=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ein homogenes DGL-System dar.
Eine inhomogenes System erhältst Du, wenn [mm]s\left(t\right) \not= \pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist.
>
> Vielen Dank nochmal
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 23.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ok dann muss ich mal den Fehler suchen..
Ist denn W(t) = [mm] (V_1 [/mm] * [mm] e^{\lambda_1t}, V_2 [/mm] * [mm] e^{\lambda_2t}, (V_3 [/mm] + V_2t) [mm] e^{\lambda_3t}) [/mm] korrekt?
Ich dachte mit 2 Eigenwerten komm ich auf solch eine Gleichung.
Danke sehr
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Hallo zocca21,
> Ok dann muss ich mal den Fehler suchen..
>
> Ist denn W(t) = [mm](V_1[/mm] * [mm]e^{\lambda_1t}, V_2[/mm] *
> [mm]e^{\lambda_2t}, (V_3[/mm] + V_2t) [mm]e^{\lambda_3t})[/mm] korrekt?
>
Falls [mm]\lambda_{2}=\lambda_{3}[/mm] ist das korrekt.
> Ich dachte mit 2 Eigenwerten komm ich auf solch eine
> Gleichung.
>
> Danke sehr
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 24.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
W(t) = [mm] \pmat{ 1 & e^{2t} & te^{2t} \\ -2 & 0 & e^{2t} \\ 4 & 0 & 0 }
[/mm]
mit [mm] V_1(\lambda=0) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 4 }
[/mm]
mit [mm] V_2(\lambda=2) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
mit [mm] V_3(\lambda=2) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
eingesetzt
W(0) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 0 }
[/mm]
W(0) * C = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] C_1= [/mm] 1/4 [mm] C_2= [/mm] -(1/4) [mm] C_3= [/mm] 1/2
W(t) * c = [mm] \pmat{ (1/4) -(1/4)e^{2t} + (1/2)te^{2t} \\ -(1/2)-(1/4)e^{2t} \\ 2 }
[/mm]
Ist zumindest die vorgehensweise zur homogenen Lösung so korrekt?
Danke sehr
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Hallo zocca21,
> W(t) = [mm]\pmat{ 1 & e^{2t} & te^{2t} \\ -2 & 0 & e^{2t} \\ 4 & 0 & 0 }[/mm]
>
> mit [mm]V_1(\lambda=0)[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 4 }[/mm]
>
> mit [mm]V_2(\lambda=2)[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> mit [mm]V_3(\lambda=2)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
> eingesetzt
>
> W(0) = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 0 }[/mm]
>
> W(0) * C = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> [mm]C_1=[/mm] 1/4 [mm]C_2=[/mm] -(1/4) [mm]C_3=[/mm] 1/2
>
>
> W(t) * c = [mm]\pmat{ (1/4) -(1/4)e^{2t} + (1/2)te^{2t} \\ -(1/2)-(1/4)e^{2t} \\ 2 }[/mm]
>
> Ist zumindest die vorgehensweise zur homogenen Lösung so
> korrekt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die spezielle Lösung unter der Anfangsbedingung
mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Danke sehr
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 26.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ok ich hab nochmal 2 Fragen:
Bei verschiedenen Eigenwerten stell ich folgende Gleichung auf:
W(t) [mm] =(V_1 [/mm] * [mm] e^{\lambda_1t}, V_2 [/mm] * [mm] e^{\lambda_2t}, V_3 [/mm] * [mm] e^{\lambda_3t})
[/mm]
bei 2 gleichen: [mm] (\lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3)
[/mm]
W(t) = [mm] (V_1\cdot{}e^{\lambda_1t}, V_2\cdot{}e^{\lambda_2t}, (V_3+V_2t)\cdot{}e^{\lambda_3t})
[/mm]
Wie sieht es bei 3 gleichen Eigenwerten aus?
Und wie is nun meine Vorgehensweise für die spezielle Lösung?
Danke nochmal!!
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Hallo zocca21,
> Ok ich hab nochmal 2 Fragen:
>
> Bei verschiedenen Eigenwerten stell ich folgende Gleichung
> auf:
>
> W(t) [mm]=(V_1[/mm] * [mm]e^{\lambda_1t}, V_2[/mm] * [mm]e^{\lambda_2t}, V_3[/mm] *
> [mm]e^{\lambda_3t})[/mm]
>
> bei 2 gleichen: [mm](\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3)[/mm]
>
> W(t) = [mm](V_1\cdot{}e^{\lambda_1t}, V_2\cdot{}e^{\lambda_2t}, (V_3+V_2t)\cdot{}e^{\lambda_3t})[/mm]
>
> Wie sieht es bei 3 gleichen Eigenwerten aus?
Wie sich die Fundamentalmatrix aufbaut, hängt bei
gleichen Eigenwerten von der Dimension von
[mm]\operatorname{Kern}\left(A-\lambda*I\right)[/mm] ab.
>
> Und wie is nun meine Vorgehensweise für die spezielle
> Lösung?
>
> Danke nochmal!!
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 27.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ich habe im Skript folgende Formel gelesen:
f(x) = ( A Av [mm] Av^2) [/mm] * [mm] (W(0)^T)^-1 [/mm] * [mm] \vektor{ g1 \\ ... \\ gd} [/mm]
y(x0) = v
Kann ich damit dann die spezielle Lösung berechnen? Woher weiß ich ob ich nur (A Av) habe oder wie hier z.B. (A Av [mm] Av^2).
[/mm]
Der Vektor am Ende wäre doch bei mir [mm] \vektor{ 1 \\ e^{2t} \\ te^{2t}} [/mm] wegen meinen Eigenwerten oder?
Ich quäl mich durch das Skript aber bisher scheint nicht viel herum gekommen zu sein.
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Hallo zocca21,
> Ich habe im Skript folgende Formel gelesen:
>
> f(x) = ( A Av [mm]Av^2)[/mm] * [mm](W(0)^T)^-1[/mm] * [mm]\vektor{ g1 \\ ... \\ gd}[/mm]
>
> y(x0) = v
>
> Kann ich damit dann die spezielle Lösung berechnen? Woher
> weiß ich ob ich nur (A Av) habe oder wie hier z.B. (A Av
> [mm]Av^2).[/mm]
>
> Der Vektor am Ende wäre doch bei mir [mm]\vektor{ 1 \\ e^{2t} \\ te^{2t}}[/mm]
> wegen meinen Eigenwerten oder?
>
Beim Nachrechnen komme ich zu dem Schluss, daß mit
- [mm]( A \ Av \ Av^2)[/mm] das Fundamentalsystem des DGL-Systems.
- [mm]\vektor{ g1 \\ ... \\ gd}[/mm] der Vektor der Anfangsbedingungen
gemeint ist.
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> Ich quäl mich durch das Skript aber bisher scheint nicht
> viel herum gekommen zu sein.
Gruss
MathePower
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