Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 15.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
f'''(x)-3*f''(x)+4*f(x)=0 f(0)=f'(0)=0, f''(0)=1 |
Hallo Leute, ich bin so vorgegangen:
f'''(x)-3*f''(x)+4*f(x)=0
charakteristisches Polynom:
[mm] v(\lambda)=\lambda^{3}-3*\lambda²+4=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=2
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=2
[/mm]
Integralbasis:< [mm] e^{\lambda_{1}*x}; x*e^{\lambda_{2}*x} [/mm] >
Allgemeine Lösung:
[mm] f(x)=A*e^{\lambda_{1}*x}+B*x*e^{\lambda_{2}*x}
[/mm]
[mm] f'(x)=A*\lambda_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+B*e^{\lambda_{2}*x}+x*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}=0
[/mm]
[mm] f''(x)=A*\lambda_{1}^{2}*e^{\lambda_{1}*x}+B*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}+x*\lambda_{2}^{2}*e^{\lambda_{2}*x}=1
[/mm]
setze ich nun für das x die Null ein, so folgt doch, dass A=0. Somit folgt, dass auch B=0. Ich vermute, dass es etwas damit zu tun hat, dass ich bei [mm] B*x*e^{\lambda_{2}*x} [/mm] keine Klammern um den Ausdruck [mm] x*e^{\lambda_{2}*x} [/mm] gesetzt habe, bin mir da aber nicht sicher. Woran liegt es?
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Hallo Owen,
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
> f'''(x)-3*f''(x)+4*f(x)=0 f(0)=f'(0)=0, f''(0)=1
> Hallo Leute, ich bin so vorgegangen:
> f'''(x)-3*f''(x)+4*f(x)=0
>
> charakteristisches Polynom:
> [mm]v(\lambda)=\lambda^{3}-3*\lambda²+4=0[/mm]
> [mm]\lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=2[/mm]
> [mm]\lambda_{3}=2[/mm]
>
> Integralbasis:< [mm]e^{\lambda_{1}*x}; x*e^{\lambda_{2}*x}[/mm] >
>
> Allgemeine Lösung:
> [mm]f(x)=A*e^{\lambda_{1}*x}+B*x*e^{\lambda_{2}*x}[/mm]
>
Die allgemeine Lösung lautet richtigerweise:
[mm]f\left(x\right)=A*e^{-x}+B*x*e^{2x}+C*e^{2x}[/mm]
> [mm]f'(x)=A*\lambda_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+B*e^{\lambda_{2}*x}+x*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}=0[/mm]
>
> [mm]f''(x)=A*\lambda_{1}^{2}*e^{\lambda_{1}*x}+B*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}+x*\lambda_{2}^{2}*e^{\lambda_{2}*x}=1[/mm]
>
> setze ich nun für das x die Null ein, so folgt doch, dass
> A=0. Somit folgt, dass auch B=0. Ich vermute, dass es etwas
> damit zu tun hat, dass ich bei [mm]B*x*e^{\lambda_{2}*x}[/mm] keine
> Klammern um den Ausdruck [mm]x*e^{\lambda_{2}*x}[/mm] gesetzt habe,
> bin mir da aber nicht sicher. Woran liegt es?
1. Wo ist die 3. Lösung [mm]\left(e^{2x}\right)[/mm] geblieben?
2. Es ist [mm]\left(B*x*e^{2x}\right)'=B\left(x*e^{2x}\right)'[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 So 15.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Mathepower,
O ha, da habe ich ja komplett eine Basis ausgelassen. Danke für den Hinweis.
Ich versuchs nochmal:
[mm] f\left(x\right)=A\cdot{}e^{-x}+B\cdot{}x\cdot{}e^{2x}+C\cdot{}e^{2x}
[/mm]
[mm] f'(x)=A\cdot{}\lambda_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+B\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+x\cdot{}\lambda_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+C*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}=0
[/mm]
[mm] f''(x)=A\cdot{}\lambda_{1}^{2}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+B\cdot{}\lambda_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+x\cdot{}\lambda_{2}^{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}+C\cdot{}\lambda_{2}²\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}=1
[/mm]
Nun habe ich folgendes Gleichungssystem:
f(0)=A+C=0
f'(0)=-A+B+2C=0
f''(0)=A+2B+4C=-1
Die Lösung dieses LGS lautet:
[mm] A=-\bruch{1}{3}
[/mm]
B=1
[mm] C=\bruch{1}{3}
[/mm]
Und somit ergibt sich die spezielle Lösung:
f(x)= [mm] -\bruch{1}{3}*e^{-x}+x*e^{2x}+\bruch{1}{3}*e^{2x}
[/mm]
Aber es müsste sein:
f(x)= [mm] \bruch{1}{9}*e^{-x}+(-\bruch{1}{9}+\bruch{1}{3}x)*e^{2x}
[/mm]
Wo liegt der Fehler?
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Hallo,
> s.oben
> Hallo Mathepower,
> O ha, da habe ich ja komplett eine Basis ausgelassen.
> Danke für den Hinweis.
> Ich versuchs nochmal:
>
> [mm]f\left(x\right)=A\cdot{}e^{-x}+B\cdot{}x\cdot{}e^{2x}+C\cdot{}e^{2x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=A\cdot{}\lambda_{1}\cdot{}e^{\lambda_{1}\cdot{}x}+B\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+x\cdot{}\lambda_{2}\cdot{}e^{\lambda_{2}\cdot{}x}+C*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}=0[/mm]
Wo ist dein Faktor B geblieben? Und für [mm] \lambda_{1,2} [/mm] kannst Du doch Zahlen einsetzen - find ich praktischer.
[mm] $f'(x)=A*\lambda_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+B*e^{\lambda_{2}*x}+B*x*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}+C*\lambda_{2}*e^{\lambda_{2}*x}$
[/mm]
[mm]f'(x)=-Ae^{-x}+B*e^{2x}+2*B*x*e^{2x}+2*C*e^{2x}[/mm]
[mm]f'(x)=-Ae^{-x}+(2Bx+B+2C)*e^{2x}[/mm]
[mm]f''(x)=Ae^{-x}+(4Bx+4B+4C)*e^{2x}[/mm]
; so ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 15.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo, hatte vergessen das B auszuklammern, danke für den Hinweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 So 15.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die Lösung deines LGS stimmt nicht:
$f(0)=A+C=0$ also A=-C
$f'(0)=-A+B+2C=0$ also I B+3C=0
$f''(0)=A+4B+4C=1$ also II 4B+3C=1
II-I 3B=1 [mm] B=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] C=-\bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{9}
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 So 15.06.2008 | | Autor: | Owen |
ja, ich hatte den Faktor vor B in der dritten Gleichung falsch, aber jetzt hab ich richtig 
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