Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | x'(t) = x(t) + cost
x(0) = 1 |
Hallo,
ich habe versucht, die Differentialgleichung mit dem Anfangswertproblem zu lösen und bin auch zu einem Ergebnis gelangt.
So ein ganz gutes Gefühl habe ich dabei aber nicht, weil ich allgemein mit Differentialgleichungen nicht so sicher bin.
Ich schreibe meinen Lösungsweg einafch mal auf:
[tex]dx/dt = x(t) + cos t
dx/x [mm] =\integral_ [/mm] cos t dt
ln x = sin t + C
x = e^sint + C
x(0) = 1
1= e^sint + C
c = -1,718
x = e^sint - 1,718
Könntet ihr mal drübergucken und mir ggf. sagen, wo es bei meienr lösung hängt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Di 29.04.2008 | | Autor: | max3000 |
Neeee, das ist totaler Käse, was du gemacht hast. Das ist kein Produkt, sondern eine Summe auf der rechten Seite, da kannst du keine Trennung der Variablen vornehmen. Das ist eine ganz normale lineare Differentialgleichung. Da löst du das homogene Problem mit:
x'(t)-x(t)=0
Hier genügt Trennung der Variablen, nach umstellen ergibt sich:
[mm] \bruch{dx}{x}=dt
[/mm]
Integrieren:
ln(x)=t+c
umstellen:
[mm] x(t)=c'*e^t [/mm] , wobei [mm] c'=e^c, [/mm] also c'>0
Jetzt brauchst du nur noch einen Ansatz um das inhomogene Problem zu lösen, sprich eine geeignete Konstante c' finden. Ich weiß ja nicht, wie das die Physiker so machen. Sagt dir "Variation der Konstanten" etwas? Die Ingenieure in unseren technischen Vorlesungen haben von sowas zumindest noch nie was gehört, desswegen bringts glaub ich auch nichts dir das jetzt so vorzurechnen. Wenn du es doch so probieren möchtest, betrachte c' als Funktion von t, also
c'=c'(t)
Jetzt deine inhomogene Lösung [mm] x(t)=c'(t)*e^t
[/mm]
differenzieren und in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzen. Wenn du alles richtig gemacht hast, sollte sich einiges wegkürzen und du kannst nach [mm] \bruch{d}{dt}c' [/mm] umstellen und nach Integration c' ermitteln.
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