Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 14.02.2008 | | Autor: | SirTech |
| Aufgabe | [mm] x''=-w_{0}^{2}*x=0 [/mm] , [mm] x(0)=x_{0} [/mm] , x'(0)=0 [mm] (x_{0} [/mm] > 0)
(I) x(0) = [mm] x_{0} [/mm] => [mm] A*sin\phi [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
(II) x'(t) = [mm] w_{0}*A*cos(w_{0}t [/mm] + [mm] \phi)
[/mm]
x'(0) = 0 => [mm] w_{0}*A*cos\phi=0
[/mm]
[mm] cos\phi=0 [/mm] => [mm] \phi_{1} =\pi/2 [/mm] , [mm] \phi_{2}= (3/2)*\pi
[/mm]
Wegen A>0 und [mm] x_{0} [/mm] > 0 ist auch [mm] sin\phi [/mm] > 0. Der gesuchte Phasenwinkel liegt daher im Intervall 0 < [mm] \phi [/mm] < [mm] \pi. [/mm] |
Ich verstehe den letzten Satz mit der Eingrenzung nicht. Wieso ist [mm] sin\phi [/mm] > 0 und wieso MUSS der Phasenwinkel dann in dem genannten Intervall von 0 < [mm] \phi [/mm] < [mm] \pi [/mm] liegen ?
Bestimmt ganz einfach aber ich habe gerade eine Blockade und hoffe mir kann das jemand noch simpler als das Buch erklären -danke!
Gruß -Pat
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo SirTech,
> [mm]x''=-w_{0}^{2}*x=0[/mm] , [mm]x(0)=x_{0}[/mm] , x'(0)=0 [mm](x_{0}[/mm] > 0)
>
> (I) x(0) = [mm]x_{0}[/mm] => [mm]A*sin\phi[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
> (II) x'(t) = [mm]w_{0}*A*cos(w_{0}t[/mm] + [mm]\phi)[/mm]
> x'(0) = 0 => [mm]w_{0}*A*cos\phi=0[/mm]
> [mm]cos\phi=0[/mm] => [mm]\phi_{1} =\pi/2[/mm] ,
> [mm]\phi_{2}= (3/2)*\pi[/mm]
>
> Wegen A>0 und [mm]x_{0}[/mm] > 0 ist auch [mm]sin\phi[/mm] > 0. Der gesuchte
> Phasenwinkel liegt daher im Intervall 0 < [mm]\phi[/mm] < [mm]\pi.[/mm]
> Ich verstehe den letzten Satz mit der Eingrenzung nicht.
> Wieso ist [mm]sin\phi[/mm] > 0 und wieso MUSS der Phasenwinkel dann
> in dem genannten Intervall von 0 < [mm]\phi[/mm] < [mm]\pi[/mm] liegen ?
>
Da [mm]x_0 > 0[/mm] ist auch [mm]A \sin \left ( \phi \right ) > 0[/mm].
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann größer als Null, wenn beide Faktoren das selbe Vorzeichen haben.
[mm]A \sin \left ( \phi \right ) > 0 \gdw \left ( A > 0 \wedge \sin \left ( \phi \right ) > 0 \right ) \vee \left ( A < 0 \wedge \sin \left ( \phi \right ) < 0 \right )[/mm]
Da nun [mm]A>0[/mm] ist, muß auch [mm]\sin \left ( \phi \right ) > 0[/mm] gelten.
Daher gilt [mm] 0<\phi<\pi[/mm], weil in diesem Intervall [mm]\sin \left ( \phi \right ) > 0[/mm] ist.
> Bestimmt ganz einfach aber ich habe gerade eine Blockade
> und hoffe mir kann das jemand noch simpler als das Buch
> erklären -danke!
>
>
> Gruß -Pat
>
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Do 14.02.2008 | | Autor: | SirTech |
Danke für Deine schnelle Antwort, jetzt habe ich es endlich verstanden!
|
|
|
|
