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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe zu dieser Aufgabe folgende Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Repetitorium steht über dem Beispiel, auf welches verwiesen wird:
y''=f(y)
Muliplikation mit 2y' und Integration:
[mm] (y')^{2}=2*F(y), [/mm] wobei F'=f ist.
Kann mir jemand erklären, was in den ersten 5 Zeilen der Rechnung gemacht wird?
Also: was wird von der ersten auf die zweite Zeile gemacht, was von der zweiten auf die Dritte? Wo kommt die Multiplikation mit 2y' vor? Zeile 4 nach Zeile 5: heben sich das Integral und d/ds einfach auf?
Der Rest ist mir relativ klar, aber bei den ersten 5 Zeilen harperts dermaßen, ich saß eine Stunde davor und bin nicht draufgekommen.
Gruß
Alex
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Interceptor,
so richtig unklar dürfte doch nur die linke Seite der zweiten und dritten Zeile sein, oder?
Es ist:
[mm] \red{x''(s)}*x'(s)=\red{\bruch{d}{ds}x'(s)}*x'(s)=\bruch{d}{ds}x'(s)^2
[/mm]
Der Rest ist "normale" Integration.
Liebe Grüße
Herby
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Hallo Interceptor,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> ich habe zu dieser Aufgabe folgende Lösung:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Im Repetitorium steht über dem Beispiel, auf welches
> verwiesen wird:
>
> y''=f(y)
> Muliplikation mit 2y' und Integration:
>
> [mm](y')^{2}=2*F(y),[/mm] wobei F'=f ist.
>
> Kann mir jemand erklären, was in den ersten 5 Zeilen der
> Rechnung gemacht wird?
> Also: was wird von der ersten auf die zweite Zeile
> gemacht, was von der zweiten auf die Dritte? Wo kommt die
> Multiplikation mit 2y' vor? Zeile 4 nach Zeile 5: heben
> sich das Integral und d/ds einfach auf?
Die erste Zeile geht durch Multiplikation mit
[mm]x'\left(s\right)[/mm] über in die zweite Zeile.
Natürlich hält Dich niemand davon ab,
das auch mit [mm]2*x'\left(s\right)[/mm] zu tun.
Den Rest hat Herby in dieser Mitteilung erklärt.
>
> Der Rest ist mir relativ klar, aber bei den ersten 5 Zeilen
> harperts dermaßen, ich saß eine Stunde davor und bin
> nicht draufgekommen.
>
> Gruß
>
> Alex
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke für die Antworten.
Die Erklärung von Herby habe ich verstanden, allerdings frage ich mich, wo das 1/2 bei diesem Term herkommt!?
Also:
[mm] {x''(s)}\cdot{}x'(s)={\bruch{d}{ds}x'(s)}\cdot{}x'(s)=\bruch{1}{2}\bruch{d}{ds}x'(s)^2
[/mm]
Fehler in der Lösung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Interceptor,
> danke für die Antworten.
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> Die Erklärung von Herby habe ich verstanden, allerdings
> frage ich mich, wo das 1/2 bei diesem Term herkommt!?
> Also:
>
> [mm]{x''(s)}\cdot{}x'(s)={\bruch{d}{ds}x'(s)}\cdot{}x'(s)=\bruch{1}{2}\bruch{d}{ds}x'(s)^2[/mm]
>
> Fehler in der Lösung?
das denke ich nicht. Der Faktor 0.5 wird aufgrund der Ableitung einer quadratischen Ableitung zustande kommen. Zudem wird nur ein Faktor von [mm] x'(s)^2 [/mm] differenziert.
Wie das genau funkioniert, kann ich nicht sagen - deshalb hatte ich auch nur eine Mitteilung erstellt. Hier muss ein Fachkundiger ran 
Liebe Grüße
Herby
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> Die Erklärung von Herby habe ich verstanden, allerdings
> frage ich mich, wo das 1/2 bei diesem Term herkommt!?
> Also:
>
> [mm]{x''(s)}\cdot{}x'(s)\ =\ {\bruch{d}{ds}x'(s)}\cdot{}x'(s)\ =\ \bruch{1}{2}\,\bruch{d}{ds}x'(s)^2[/mm]
>
Hallo Interceptor,
Betrachte die Funktion [mm] f(s):=\left(x'(s)\right)^2
[/mm]
und ihre Ableitung
$\ [mm] \bruch{df(s)}{ds}\ [/mm] =\ 2*x'(s)*x''(s)$ (Kettenregel oder Produktregel !)
Daraus folgt
$\ x'(s)*x''(s)\ =\ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{df(s)}{ds}$
[/mm]
LG
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Hallo Interceptor,
der Lösungsweg lässt sich einfacher darstellen.
Ich schreibe $\ x$ für $x(t)\ $, $x'$ für $x'(t)$ und $x''$ für $x''(t)$.
DiffGleichung: $\ [mm] x''\,=\,2\,x^3$
[/mm]
Anfangswerte: $\ [mm] x(-2)\,=\,1\qquad [/mm] x'(-2)=-1$
$\ [mm] x''\,=\,2\,x^3$ $\big{|}\ [/mm] *2x'$
$\ [mm] 2\,x'*x''\,=\,4\,x^3*x'$ $\big{|}$ [/mm] integrieren
$\ [mm] x'^{\,2}\,=\,x^4+C$ $\big{|\ \ } [/mm] t=-2 $ einsetzen
$\ [mm] x'(-2)^{\,2}\,=\,x(-2)^4+C$ $\big{|\ \ }$ [/mm] AW einsetzen
$\ [mm] (-1)^{\,2}\,=\,1^4+C$ $\big{|\ \ }$ [/mm] -1
Es folgt, dass C=0 sein muss, also kommen wir zur
neuen DGL
$\ [mm] x'^{\,2}\,=\,x^4$
[/mm]
Nun kann man die Wurzel ziehen, muss aber wegen $\ x'(-2)<0$
schreiben:
$\ [mm] x'\,=\,-\,x^2$
[/mm]
Jetzt bleibt natürlich diese DGL noch zu lösen.
Dies geht mit Separation der Variablen aber
recht leicht.
LG Al-Chw.
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Danke für die Antworten :)
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